46. Скалярное произведение векторов

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.a*b={a_x*b_x + a_y*b_y + a_z* b_z}

47. Приложение скалярного произведения

Угол между векторами: cos α = a*b / |a|*|b|

Длина вектора: |a|² = a²_x + a²_y + a²_z

48. Проекции.

Скалярная пр _a b= a*b / |a| Вектор проекция: пр _a b = (a * b / |a²| )*a

49.Векторное произведение векторов.

C = A x B

1) Вектор С действует вдоль прямой перпендикулярой A и B = > C перпендик. A и B

2) С по длине равен площади параллелограмма С = S = |A| * |B| sin α

3) A, B, C –правая тройка A x B = -B x A

50. Основные положения произведения второго порядка

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел ,,,:

. Число называется определителем второго порядка. Этот определитель обозначается символом; соответственно имеем.

Числа ,,,называются элементами определителя. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

.

Геометрический смысл.

Объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c V_{тетраэдра}= 1/6 |(a*b)*c|

51. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямая, проходящая через точку M₀(x₀ y₀, z₀), параллельно вектору a = (l, m, n), и точка M₁(x₁ y₁, z₁), не лежащая на прямой.

Расстояние h от точки M₁(x₁ y₁, z₁) до прямой может быть вычислено по формуле

 

52.Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояниеот точкидо этой плоскости можно вычислить по формуле.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

            Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

            Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0;    D = -21.

 

            Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

53.Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

     В координатах

Расстояние между параллельными прямыми

     Если прямые заданы уравнениями ито

а если уравнениями ито

54.Проекция точки на прямую.

 Найти проекцию точки на прямую

Решение:

 

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной данной прямой. Направляющий вектор прямой может служить вектором нормали к плоскости.

Общий вид уравнения плоскости:

Подставляем вместо координаты вектора нормали, вместо- координаты  точки.

Получим:

Отсюда

 Искомая плоскость:

 

Точка пересечения данной прямой и полученной плоскости  будет проекцией точки М на данную прямую.

 отсюда

Координаты проекции:

Ответ:

55

56. Углы

Угол между двумя прямыми

57. Объём параллелепипеда. Смешанное произведение векторов.

Объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c V_{тетраэдра}= 1/6 |(a x b)*c|

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Смешанным произведением трёх векторов называют число, равное. Обозначается. Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный векторумножается скалярно на третий вектор. Очевидно, такое произведение есть некоторое число.

Рассмотрим свойства смешанного произведения.

1. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .

Таким образом, и.

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равноопределителю матрицы, составленной из векторов и:

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёмупараллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).