2 Замечат предела:

1)Lim (при х->0) =1.

2)Lim (при n-> к беск) =e (число Эйлера, прибл 2,7. иррац-ое)

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1.          Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2.          Сходящаяся последовательность ограничена;

3.          Если  , то  ;

4.          При любых постоянных   и    ;

5.           ;

6.          Если  ,   и  , то  ;

7.          Если  , то  ;

8.          Если   и  , то  ;

9.          Если  , то  .

Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся. Расходящиеся последовательности могут быть:

1 неограниченными( бесконечно большими)

2 ограниченными(имеющими предел)

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел:   (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида  , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

 

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:   – это иррациональное число.

В качестве параметра   может выступать не только переменная  , но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

23.Предел ф-ии в бесконечности и в точке.Свойства и признаки существования предела функции.

1.Число Аназ-ся пределом ф-ии при х -> к беск-ти, если для любого сколь угодно малого положит числа e>0 найдется такое положит число S>0, что для всех х (таких, что |x|>S), верно нерав-во:

|f(x)-A|<e.

2.Число А наз-ся пределом ф-ии при х -> к , если для любого сколь угодно малого положит числа e>0 найдется такое положит число B>0, что для всех х (не равных и удовл условию |х- |<B) соблюдается

|f(x)-A|<e.

Замечания:

1-Определение предела не требует существования ф-ии в самой точке , ибо рассматриваются значения х≠ в окрестности этой точки.

2-Если при стремлении х к переменная х принимает лишь знач-я меньше или больше , то говорят об односторонних пределах ф-ии соответственно слева (Limf(x)=A при x-> -0) и справа (Limf(x)=A при x-> +0).

свойства предела функции.

1. Если  lim_x  af(x) = A , то найдется окрестность точки a   такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.

2. Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то lim_x af(x) = A

3. Если lim_x  af(x) = A1 и lim_x  af(x) = A2, то A1 = A2

Признаки существования предела

 

Теорема 1 (теорема о двух милиционерах). Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями   и  , т.е. выполняется неравенство   х, причем эти функции имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y=f(x) при , равный этому же значению.

,

  =>  .

2.  Если функция y=f(x) монотонно возрастет (убывает) в некоторой окрестности  точки а и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел при .

24-25.Непрерывность ф-ии действ переем-й в точке и на отрезке. Св-ва ф-ий, непр на отрезке.

1.Ф-я непрерывна в точке , если она удовл трем условиям: 1-определена в точке (существует f( )), 2-имеет конечный предел ф-ии при x -> , 3-этот предел = знач-ю ф-ии в точке .

1.2.Ф-я непрерывна в точке , если она определена в этой точке, и бесконечно малому приращ-ю аргумента соответствует беск малое приращ-е ф-ии.

Св-ва ф-ий, непр в точке:

1-Если ф-ииf(x) и ⱷ(x) непрерывны в точке , то их сумма, произв-е и частное тоже непр в этой точке.

2-Если ф-я непр в точке и f( )>0, то сущ такая окрестность точки , в которой f(x)>0.

3-Если ф-я y=f(u) непрерывна в точке , а ф-я y=ⱷ(x) непрерывна в точке =ⱷ( ), то сложная ф-я y=f[ⱷ(x)] непр в точке .

2.Ф-яназ-ся непрерывной на отрезке Х, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Можно доказать, что все элементарные ф-ии непрерывны в обл-ти их определения.

Св-ва ф-ий, непр на отрезке:

1-Если ф-я непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вайерштрасса).

2-Если ф-я непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отр-кенаименьшзнач-я m и наибольшзнач-я M (вторая т. Вайерштрасса).

3-Если ф-я непрерывна на отрезке [a;b] и знач-я на ее концах имеют противоп знаки, то внутри отрезка найдется такая точка (E принадлежит (a;b)), что f(E)=0 (теорема Больцано - Коши).