2. Градиент функции и его применение

Градиент – характеристика, показывающая направление и величину максимальной скорости изменения функции в данной точке.

Пусть дифференцируемая функция двух переменных.

Градиентом функции называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке и обозначается , т.е. или

Теорема 7.1. Градиент функции в точке характеризует направление максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке, причем наибольшая скорость возрастанию функции в точке равна

Итак, градиент – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции.

Пример 7.6. Найти градиент функции .

Решение. Вычислим частные производные Подставив в формулу градиента,

Пример 7.7. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. Найдем частные производные и их значения в точке М:

Градиент функции в точке есть вектор Наибольшая скорость возрастания функции равна

3. Частные производные второго порядка для функции двух переменных

Пусть дифференцируемая функция двух переменных. Следовательно, для нее можно найти производные и Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь они могут быть дифференцируемыми функциями своих переменных и также могут иметь частные производные по каждой их этих переменных.

Частными производными второго порядка от функции называются производные от частных производных первого порядка. Рассмотрим частную производную . От этой производной возьмем производную по переменной x и по переменной y. Таким образом, и

Аналогично получаем и

Следовательно, частных производных второго порядка от функции будет четыре: Иногда применяют обозначения:

Частные производные называют смешанными производными.

Пример.. Найти частные производные второго порядка функции

Решение.

В примере оказалось, что смешанные частные производные равны, то есть Приводимая ниже теорема Шварца (Герман Шварц (1843-1921-немецкий математик), утверждает, что не простое совпадение.

Теорема (Щварца). Если частные производные порядка непрерывны, то смешанные производные того же порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем

Согласно этой теореме смешанные производные можно вычислять в любом порядке и нет необходимости находить обе смешанные производные.

Частные производные второго порядка используются при нахождении экстремальных значений функции двух переменных.

4. Экстремум функции двух переменных

Понятие точек экстремума и самого экстремума функции вводится по аналогии с функциями одной переменной.

Понятие точек экстремума

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Значение называется максимум функции .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Значение называется минимум функции.

Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума. Как и в случае функции одной переменной есть необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются «подозрительными» на экстремум или стационарными.

Если вспомнить понятие градиента функции, то необходимое условие экстремума можно сформулировать так:

Теорема… . Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то градиент функции в этой точке есть нулевой вектор.

Замечание 1. Функция может иметь экстремум и в точках, в которых одна или обе производные не существуют, т.е. функция не является дифференцируемой. Например, функция имеет минимум в точке , но очевидно не имеет в этой точке частных производных.

Замечание 2. Равенство нулю частных производных первого порядка является лишь необходимым, но не достаточным условием экстремума. Например, для функции частные производные в точке равны нулю, но точка не является экстремумом для этой функции.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и в некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Положим

и определим величину

Тогда:

1) если , то функция имеет экстремум в точке : максимум при и минимум при

2) если , то функция не имеет экстремум в точке ;

3) если , то функция может иметь экстремум в точке , а может не иметь. Требуется дополнительные исследования.