5. Определение координат нескольких точек 5.1. Задача Ганзена

В задаче Ганзена находят координаты двух точек P и Q по известным координатам двух пунктов A и B и четырем углам, измеренным на определяемых точках (рис. 15), т.е. задача Ганзена является сдвоенной обратной угловой засечкой.

Исходные данные: XA, YA, XB, YB.

Измеренные элементы: β1, β2, β3, β4.

Неизвестные элементы: XP, YP, XQ, YQ .

Аналитическое решение. Известно несколько способов решения задачи Ганзена; приведем краткое изложение одного из них.

1. Решить обратную задачу между пунктами A и B, т.е., вычислить длину b отрезка AB и дирекционный угол αAB направления AB.

Рис. 15. Схема задачи Ганзена

2. Ввести условную единицу длины, равную длине l отрезка PQ ; l = 1.000 .

3. Вычислить отрезки S'1 = AP, S'3 = AQ, S'2 = BP, S'4 = BQ в условных единицах с использованием теоремы синусов сначала для треугольника PAQ, затем для треугольника PBQ:

(5.1)

4. Вычислить в условных единицах длину b' отрезка AB из треугольника QAB по теореме косинусов:

и для контроля - из треугольника PAB:

5. Вычислить масштабный коэффициент k:

k = b / b'

и перевести все вычисленные расстояния в реальные единицы длины

6. Вычислить угол φ из треугольника QAB по теореме косинусов

7. Вычислить угол ψ из треугольника PAB по теореме косинусов:

8. Вычислить дирекционный угол направления AQ:

и решить прямую геодезическую задачу с пункта A на точку Q :

9. Вычислить дирекционный угол направления BP

α_BP = α_BA - φ

и решить прямую геодезическую задачу с пункта B на точку P:

Расположение исходных пунктов и определяемых точек может быть таким, что отрезки PQ и AB будут пересекаться (рис. 16). Ход решения задачи остается таким же, только изменятся обозначения углов и сторон. Кроме того, доказано, что в этом варианте положение точек P и Q определяется в несколько раз точнее, чем в общем варианте.

Рис. 16. Вариант задачи Ганзена

5.2. Определение прямоугольных координат пунктов линейно-угловых ходов

5.2.1. Классификация линейно-угловых ходов

Определение линейно-углового хода можно дать как с позиций геометрии (линейно-угловой ход – это ломаная линия, в которой измеряют длины сторон и углы между ними), так и с позиций метода определения координат пунктов хода (линейно-угловой ход – это последовательность полярных засечек); оба определения являются верными и дополняют одно другое. Классификацию линейно-угловых ходов можно провести по двум параметрам – по геометрическим характеристикам хода и по точности выполняемых в ходе измерений.

а)

б)

Рисунок 39 – Некоторые стандартные формы линейно-угловых ходов

В зависимости от точности измерений углов и расстояний линейно-угловые ходы делятся на две группы – теодолитные ходы и полигонометрические ходы.

Теодолитные ходы бывают 1-го, 2-го и 3-го разрядов (таблица 8).

Таблица 8

Разряд хода	Ср.кв.оши. измерения углов	Относит.ош. измер. сторон
1	до 30”	1/1000
2	до 30”	1/2000
3	до 30”	1/3000

Полигонометрические ходы в сетях сгущения бывают 4-го класса, 1-го и 2-го разрядов (таблица 9).

Таблица 9 - Основные характеристики полигонометрических сетей сгущения

Показатели	4-й класс	1-й разряд	2-й разряд
Предельная длина в км отдельного хода при измерении линий светодальномерами в зависимости от числа сторон	8 при n = 30 10 при n = 20 12 при n = 15 15 при n = 10 20 при n = 5	10 при n = 50 12 при n = 40 15 при n = 25 20 при n = 15 25 при n = 10	6 при n = 30 8 при n = 20 10 при n = 20 12 при n = 8 14 при n = 6
Предельная длина в км отдельного хода при измерении линий другими методами	15	5	3
Длина стороны хода вкм: наименьшая наибольшая	0,25 2,00	0,12 0,80	0,08 0,35
Предельная относительная невязка хода	1:25 000	1:10 000	1:5 000
Средняя квадратическая ошибка измерения угла (по невязкам ходов)	2”	5”	10”
Средняя квадратическая ошибка измерения длины	до 0,5 км – 2 см от 0,5 км до 1 км – 3 см свыше 1 км – 1:40 000	до 1 км – 3 см свыше 1 км – 1:30 000	до 1км – 5 см

В государственных геодезических сетях полигонометрические ходы бывают 1-го, 2-го, 3-го и 4-го классов точности; однако, в соответствии с рекомендациями новой инструкции о построении государственных геодезических сетей 2001 года издания основным способом создания государственных сетей становятся спутниковые измерения, а полигонометрические ходы классной точности будут применяться только в геодезических построениях специального назначения.

Проектирование полигонометрии. Все работы по созданию геодезических сетей методом полигонометрии выполняются по проектам, составляемым в специализированных отделах геодезических предприятий на основе всех официально утверждённых инструкций, руководств и постановлений.

Для проверки на местности проекта, составленного на топографической карте, выполняют рекогносцировку, которая производится, как правило, в два этапа.

На первом этапе устанавливают наличие изменений, произошедших на местности с момента создания топографической карты, и, если таковые произошли, то выясняют их влияние на параметры запроектированных работ; в случае необходимости вносят коррективы в проект. Проверяется взаимная видимость между соседними пунктами полигонометрических ходов, особенно по сомнительным направлениям и на узловых точках систем ходов. Проверяют наличие растительности по направлениям ходов, отыскивают обходы препятствий и т.п. Каждый ход полигонометрии должен быть отрекогносцирован так, чтобы визирный луч при измерениях проходил не ближе 0,5 м от препятствий.

Трасса намеченного хода должна быть удобной для угловых и линейных измерений, особенно при параллактическом методе измерения расстояний или с помощью длиномера и инварных проволок. В условиях города следует учитывать интенсивность движения транспорта, а в необжитых районах – наличие подъезда к пунктам.

Второй этап рекогносцировки – это перенос проекта в натуру с выбором наиболее удобного места для каждого запроектированного пункта. Здесь следует руководствоваться определёнными правилами. Во первых, пункты полигонометрии должны располагаться примерно на равных расстояниях один от другого; место закладки пункта выбирают так, чтобы обеспечить их долговременную сохранность (нельзя ставить пункты на проезжей части дорог, на затопляемых или сырых участках местности, на свеженасыпанных грунтах и т.д. Следует помнить и о правилах техники безопасности: нельзя располагать пункты близко к железным дорогам, к линиям электропередач, к постоянно работающим механизмам и т. п.