Обратная угловая засечка
К
элементарным измерениям относится и
измерение угла 
на определяемой точке
между направлениями на два пункта
и
с известными координатами
и
.
Однако, это измерение оказывается
теоретически довольно сложным, поэтому
рассмотрим его отдельно. Проведем
окружность через три точки
.
Из школьного курса геометрии известно,
что угол с вершиной на окружности
измеряется половиной дуги, на которую
он опирается. Центральный угол,
опирающийся на ту же дугу, измеряется
всей дугой, следовательно, он будет
равен
(рис.34 ).
Рисунок 34 - К вычислению R и координат Ц Рисунок 35 – Обратная угловая засечка
Расстояние
между пунктами
и
считается известным, и из прямоугольного
треугольника
можно найти радиус
окружности
.
(3.3)
Уравнение окружности имеет вид
,
(3.4)
где
- координаты центра окружности. Их можно
вычислить, решив либо прямую угловую,
либо линейную засечку с пунктов
и
на точку
.
В уравнении (3.4)
- координаты любой точки окружности,
в том числе и точки
,
но для нахождения двух координат точки
одного такого уравнения недостаточно.
Обратной угловой засечкой называют
способ определения координат точки
по двум углам
и
,
измеренным на определяемой точке
между направлениями на три пункта с
известными координатами
(рис.35).
Исходные
данные:
;
Измеряемые элементы: ;
Неизвестные элементы: координаты точки - .
Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы и с общей вершиной ; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты на чертеже; переколоть точку с кальки на чертеж.
Аналитическое
решение. Аналитическое
решение обратной угловой засечки
предусматривает ее разложение на более
простые задачи, например, на две прямые
угловые засечки и одну линейную, или
на три линейных засечки и т.д. Известно
более десяти способов аналитического
решения, но мы рассмотрим только один
- через последовательное решение трех
линейных засечек. Предположим, что
положение точки
известно, и проведем две окружности:
одну радиусом 
через точки
и другую - радиусом
через точки
(рис.35). Радиусы этих окружностей получим
по формуле (3.3)
;
.
Если
координаты центров окружностей (точек
и
)
будут известны, то координаты точки
можно определить по формулам линейной
засечки: из точки
по расстоянию
и из точки
- по расстоянию
.
Координаты центра
можно
найти по формулам линейной засечки из
точек
и
по расстояниям
,
причем из двух решений нужно взять то,
которое соответствует величине угла
;
если
,
то точка
находится справа от линии 
;
если
, то точка
находится слева от линии
.
Координаты центра
находятся
по формулам линейной засечки из точек
и
по расстояниям
,
и одно решение из двух возможных
выбирается по тому же правилу: если
,
то точка
находится справа от линии 
,
если
,
то точка
находится слева от линии
.
Задача не имеет решения, если все четыре точки и находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точку их пересечения указать невозможно.