4.2. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции двух переменных

на замкнутом ограниченном множестве

Как известно, если функция одной переменной непрерывна на отрезке, то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. То же относится и к функции двух переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном подмножестве плоскости. Если функция дифференцируема, то ее наибольшее и наименьшее значения можно найти следующим образом.

1)Находим внутренние точки данного множества, в которых частные производные функции равны нулю, и значения функции в этих точках.

2)Находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе данного множества.

3)Сравниваем значения, найденные в первом и втором пунктах, и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f(x,y)=х³+у³–3ху на трапеции, ограниченной прямыми: х= –1, х=2, у= –1, у=3–х.

В предыдущем пункте мы нашли точки, в которых частные производные данной функции равны нулю: (0,0) и (1,1). Обе эти точки лежат внутри трапеции. Значения функции в этих точках равны 0 и –1.

Граница трапеции состоит из четырех отрезков: АВ, ВС, СD и DА, – где А(–1,4), В(2,1), С(2,–1), D(–1,–1).

На отрезке АВ имеем: f(x,y)=х³+(3–х)³–3х(3–х)=12х²–36х+27, –1х2. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;2] равны соответственно 75 (при х= –1) и 0 (при х=1,5).

На отрезке ВС имеем: f(x,y)=8+у³–6у, –1у1. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;1] равны соответственно 13 (при у= –1) и 3 (при у=1).

На отрезке СD имеем: f(x,y)=х³–1+3х, –1х2. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;2] равны соответственно 13 (при х=2) и –5 (при х= –1).

На отрезке DA имеем: f(x,y)= –1+у³+3у, –1у4. Наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [–1;4] равны соответственно 75 (при у=4) и –5 (при у= –1).

Сравнивая найденные значения, видим, что наибольшее значение функции на данном множестве равно 75 (при х= –1, у=4), а наименьшее значение равно –5 (при х= –1, у= –1).

4.3. Условный экстремум функции двух переменных

Определение 2. Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) и непрерывна в этой точке. Пусть точка (х₀,у₀) удовлетворяет некоторому уравнению связи (х,у)=0. Если существует окрестность точки (х₀,у₀), в которой для всех (х,у), удовлетворяющих уравнению связи, f(x,y)<f(х₀,у₀), то эта точка называется точкой условного максимума данной функции; аналогично определяется точка условного минимума. Если (х₀,у₀) – точка условного максимума или условного минимума, то она называется точкой условного экстремума.

Примем без доказательства следующие теоремы об условном экстремуме.

Теорема 3 (необходимое условие условного экстремума). Пусть (х₀,у₀) – точка условного экстремума функции f(x,y), дифференцируемой в (х₀,у₀), при уравнении связи (х,у)=0. Тогда существует такое число , что F_х(х₀,у₀,)= F_у(х₀,у₀,)=0, где F(х,у,)=f(x,y)–(х,у) – так называемая функция Лагранжа.

Теорема 4 (достаточное условие условного экстремума). Пусть для функции f(x,y), дифференцируемой в (х₀,у₀), (х₀,у₀)=0 и существует такое число , что F_х(х₀,у₀,)= F_у(х₀,у₀,)=0, где F(х,у,) – функция Лагранжа. Пусть =F_хх(х₀,у₀,)(_у(х₀,у₀))²–2F_ху(х₀,у₀,)_х(х₀,у₀)_у(х₀,у₀)+ F_уу(х₀,у₀,)(_х(х₀,у₀))². Тогда, если >0 (соответственно <0), то (х₀,у₀) – точка условного минимума (соответственно максимума) функции f(x,y) при уравнении связи (х,у)=0.

Пример. Найдем стороны х и у прямоугольника наибольшей площади, вписанного в окружность радиуса R. Для этого надо найти точку условного максимума функции f(х,у)=ху, если (х,у)=0, (х,у)=х²+у²–4R². Функция Лагранжа: F(х,у,)=ху–(х²+у²–4R²), F_х(х,у,)=у–2х, F_у(х,у,)=х–2у. Из теоремы 3 следует, что для нахождения точек условного экстремума надо прежде всего найти решения системы: у–2х=0, х–2у=0, х²+у²–4R²=0. Решая ее, находим: х²=у²=2R². Отсюда получаем стороны прямоугольника: х=у=R – и =0,5. Проверим, выполняется ли для точки (R ;R ) условие теоремы 4. Имеем: F_хх(х,у,)=–2, F_ху(х,у,)=1, F_уу(х,у,)=–2, _х(х,у)=2х, _у(х,у)=2у. Значит, при х=у=R , =0,5 имеем = –2(2у)²–2^.1^.2х^.2у–2(2х)² = –8R²–16R²–8R²<0. По теореме 4 получаем, что (R ;R ) – точка условного максимума. Значит, прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность, – квадрат.