3.2. Достаточное условие дифференцируемости

Пример. Пусть f(x,y)= . Как было показано выше, эта функция не является непрерывной в точке (0;0), а следовательно, не дифференцируема в этой точке. С другой стороны, частные приращения функции в точке (0;0) равны нулю, а значит, обе частные производные равны нулю. Таким образом, существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости. 

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Если функция f(x,у) имеет в точке (х₀,у₀) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Доказательство. f=f(x₀+x,y₀+y)–f(x₀,y₀)=

(f(x₀+x,y₀+y)–f(x₀+x,y₀))+(f(x₀+x,y₀)–f(x₀,y₀)). Пусть u(y) =f(x₀+x,y), v(x)=f(x,y₀). Тогда u(y)=f_y(x₀+x,y),v(x)=f_x(x,y₀). Применив к этим функциям теорему Лагранжа, получим: f=f_y(x₀+x,с₁)y+f_x(с₂,y₀)х, с₁ лежит между y₀ и y₀+y, а с₂ – между х₀ и х₀+х. Поскольку f_y и f_х непрерывны в точке (х₀,у₀), то f_y(x₀+x,с₁)=f_y(x₀,у₀)+(x,y) и f_x(с₂,y₀)= f_х(x₀,у₀)+ (x,y), где (x,y) и (x,y) – бесконечно малые при x0 и y0. Значит, f=(f_y(x₀,у₀)+(x,y))y+ (f_х(x₀,у₀)+

(x,y))х=f_х(x₀,у₀)х+f_y(x₀,у₀)y+(x,y)х+(x,y)y, то есть f(x,у) дифференцируема в точке (х₀,у₀), ч.т.д.

3.3. Применение дифференциала

1^о. Так же, как для функции одной переменной, дифференциал функции двух переменных можно использовать для приближенных вычислений:

f(х₀+x,у₀+у)  f(х₀,у₀) + x+ у. (*)

Пример. Найдем приближенно . Это число является значением функции f(x,у) = при х=1,03, у=1,98. Поскольку 1,03=1+0,03, 1,98=2–0,02, то =f(х₀+x, у₀+у), где x₀=1, у₀=2, x=0,03,

у = –0,02, f(x₀,у₀) = =3. Так как f_х(х,у)= и f_у(х,у)= , то f_х(х₀,у₀)= и f_у(х₀,у₀)=2. Подставляя найденные значения в формулу (*), получим: 3+ ^.0,03+2^.(–0,02) = 2,97.

2^о. Рассмотрим поверхность z = f(x,y), где функция f(x,y) дифференцируема в некоторой окрестности точки (х₀,у₀). Можно доказать (мы этого делать не будем), что уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (х₀,у₀,z₀), где z₀= f(х₀,у₀), имеет вид:

z–z₀= f_х(х₀,у₀)(x–x₀)+f_у(х₀,у₀)(у–у₀).

Таким образом, нормальный вектор касательной плоскости имеет координаты (f_х(х₀,у₀); f_у(х₀,у₀);–1). Отсюда получаем уравнение нормали к поверхности в точке (х₀,у₀,z₀), где z₀= f(х₀,у₀):

= = .

Замечание. Если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0, причем функция F(x,y,z) дифференцируема в некоторой окрестности точки (х₀,у₀,z₀), то уравнения касательной плоскости и нормали в этой точке приобретают вид: F_х(х₀,у₀,z₀)(x–x₀)+F_у(х₀,у₀,z₀)(у–у₀)+F_z(х₀,у₀,z₀)(z–z₀)=0;

= = .

Пример. Составим уравнение касательной плоскости и нормали к сфере x²+y²+z²–16=0 в точке (2,2,2 ). Здесь F(x,y,z)=x²+y²+z²–16, F_х(х,у,z)=2х, F_у(х,у,z)=2у, F_z(х,у,z)=2z, х₀=2, у₀=2, z₀=2 . Поэтому F_х(х₀,у₀,z₀)=4, F_у(х₀,у₀,z₀)=4, F_z(х₀,у₀,z₀)=4 . Уравнение касательной плоскости:

4(x–2)+4(y–2)+4 (z–2 )=0, или x+y+ z–8=0.

Уравнение нормали: = = .

3.4. Дифференцирование сложной функции

Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 4 (о дифференцировании сложной функции). Пусть функции u=u(x,y) и v=v(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки (х₀,у₀), а функция z=f(u,v) – в некоторой окрестности точки (u₀,v₀), где u_o=u(x_о,y_о), v_o=v(x_о,y_о). Тогда сложная функция z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) дифференцируема в точке (х₀,у₀), причем = ^. + ^. , = ^. + ^. .

Примеры. 1) Пусть z=u²+v³, u= , v= . Тогда по формулам теоремы 4 получаем: =2u^. +3v^2. , =2u^. –3v^2. . Подставляя выражения для u и v, получим: =2 ^. +3 ^. = + ; =2 ^. –3 ^. = – .

2) Пусть z=lnt, t=sinx+cosy. Тогда по формулам теоремы 4 получаем: = ^. , = ^. , то есть = ^.cosx =

, = – ^.siny = .