3. Дифференциальное исчисление функций двух переменных

3.1. Дифференцируемость функции в точке

Определение 1. Функция двух переменных f(x,у), определенная в некоторой окрестности точки (х₀,у₀), называется дифференцируемой в этой точке, если приращение функции в этой точке можно представить в виде:

f = Ax+Ву+(x,у)x+(x,у)у, где А и В – числа, а (x,у) и (x,у) – бесконечно малые при x0 и у0. Главную линейную часть этого выражения – сумму Ax+Ву – называют дифференциалом функции f(x,у) в точке (х₀,у₀) и обозначают df.

Из этого определения следует, что если функция f(x,у) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то в этой точке

=А+(x,0) и =В+(0,у). Тогда существуют пределы: = А и = В.

Определение 2. Пусть функция f(x,у) определена в некоторой окрестности точки (х₀,у₀). Если в этой точке существует , то он называется частной производной по х данной функции в данной точке и обозначается . Аналогично = – частная производная по у. Таким же образом определяются частные производные для функции любого числа переменных.

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция f(x,у) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то в этой точке существуют частные производные и .

Замечание. Значит, df = x+ у. Так же, как для функций одной переменной, можно показать, что dx=x и dy=у, то есть df = dx + dy.

Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f(x,у) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Поскольку для дифференцируемой функции f =Ax+Ву+(x,у)x+(x,у)у, где А и В – числа, а (x,у) и (x,у) – бесконечно малые при x0 и у0, то f является бесконечно малой при x0 и у0. А значит, согласно замечанию 1 из предыдущего пункта, функция f(x,у) непрерывна в точке (х₀,у₀), ч.т.д.

Примеры. 1)Пусть f(x,у) = . Эта функция непрерывна на всей плоскости и, в частности, в точке (0;0). Приращение _хf в этой точке равно , то есть x. Поэтому отношение _хf к x равно 1 или –1 в зависимости от знака x, и предел этого отношения при x0 не существует. Отсутствие частной производной по х означает, что функция не дифференцируема в точке (0;0). Таким образом, непрерывность является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости.

2)Пусть f(x,у) = х³у+sin(x²+ )+tgx+lny. Найдем частные производные этой функции. Поскольку при вычислении частной производной по одному из аргументов другой аргумент не меняется, то достаточно найти обычную производную, считая второй аргумент константой. Тогда получим: = 3x²у+cos(x²+ )^.(2x+0)+ +0 =3x²у+

2x cos(x²+ )+ ; = х³+cos(x²+ ) + .

3)Пусть f(x,у)= . Найдем дифференциал этой функции в точке (2;1), если dx=0,1, dy= –0,2. Имеем: = ,

= – . Значит, в данной точке =1, = –2. Поэтому df=1^.0,1+(–2)(–0,2)=0,5.

4)Пусть =6х⁵у²+ , =2х⁶у+cosy. Тогда функцию f(x,у) можно найти как первообразную функции 6х⁵у²+ , считая сначала у постоянным. Получим, что f(x,у)=х⁶у² +lnx+С; только С здесь – не константа, а некоторая функция, не зависящая от х, то есть С=С(у). Если f(x,у)= х⁶у² +lnx+С(у), то =2х⁶у+ , поэтому 2х⁶у+ =2х⁶у+cosy, =cosy, С(у)=siny+C, где С – уже обыкновенная константа. Итак, f(x,у)= х⁶у²+lnx+siny+C. Мы нашли функцию по ее частным производным. В разделе VII будет показано, что эта задача разрешима не всегда: частные производные нельзя задавать произвольно.

5)Уравнение F(x,y)=0 неявно задает у как функцию х. Пусть функция F дифференцируема; будем для краткости обозначать и соответственно F_x и F_y. Можно показать, что если F_y0, то функция у(х) дифференцируема и . Например, для функции у(х), неявно заданной уравнением cos(x+y)+y=0, = . Точно так же уравнение F(x,y,z)=0 неявно задает z как функцию х и у. Можно показать, что если функция F дифференцируема, причем F_z0, то функция z(х,y) дифференцируема, z_x= и z_у= . Например, для функции z(х,y), неявно заданной уравнением x+y+z–xyz=0, z_x= и z_у= . 