4.2.Поверхностный интеграл II рода

Пусть опять поверхность S задана уравнением z=z(x,y), где функция z(x,y) имеет непрерывные частные производные в некоторой области DR². Пусть S содержится в области определения непрерывной функции f(x,y,z). Зафиксируем одну из сторон поверхности и разобьем ее на n частей S₁, S₂, …, S_n. Обозначим через _kплощадь проекции S_k на плоскость xOy, взятую со знаком «+», если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол, и со знаком «–» – в противном случае. В каждой части S_k выберем точку ( ) и составим интегральную сумму: S = . (*)

Определение. Если существует предел интегральных сумм (*) при d0 (d – диаметр разбиения), не зависящий от разбиения, то он называется поверхностным интегралом II рода функции f(x,y,z) по переменным х и у по выбранной стороне поверхности S и обозначается . Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным у и z или х и z.

В общем виде поверхностный интеграл II рода имеет вид: . Если выбранная сторона поверхности имеет вектор нормали , то поверхностный интеграл второго рода связан с интегралом первого рода формулой: = .

Поверхностный интеграл II рода обладает свойствами линейности и аддитивности. Он меняет знак при перемене стороны поверхности.

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла следующим образом. Рассмотрим интеграл по х и у. Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x,y) и пусть D_xy – проекция S на плоскость хОу. Выберем сторону поверхности так, чтобы нормаль к ней образовывала с осью Оz острый угол. Тогда

= . Если же выбрать другую сторону поверхности, то интеграл берется с минусом. Аналогично вычисляется интеграл и по другим парам координат.

4.3.Формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью:

= .

Здесь V – область, ограниченная гладкой поверхностью S; функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) непрерывны в этой области вместе со своими частными производными; интегрирование ведется по внешней стороне.

Пример. Вычислим , где S – внешняя сторона поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями 2х–3у+z=6, x=0, y=0, z=0.

По формуле Остроградского-Гаусса

= =

= = – . Этот тройной интеграл равен объему пирамиды с вершинами A(3;0;0), B(0;–2;0), C(0;0;6), O(0;0;0). V= = 6. Значит,

= –6.

4.4.Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами II рода:

= . Здесь S – область, ограниченная гладкой кривой L; функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) непрерывны на этой поверхности вместе со своими частными производными; интегрирование ведется в положительном направлении (то есть S остается слева).