3.6.Восстановление функции по полному дифференциалу

Выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy будем называть полным дифференциалом, если существует функция z(x,y) (называемая первообразной полного дифференциала) такая, что dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

Теорема 4. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), (x,y) и (x,y) непрерывны в односвязной области Е. Тогда выражение Pdx+Qdy является полным дифференциалом тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области = .

Доказательство.  Пусть dz=Pdx+Qdy. Тогда в любой внутренней точке области = , = . Так как P, Q, и непрерывны в области Е, то смешанные вторые частные производные равны: = .

 Фиксируем А(x_o,y_o)E. Пусть М(x,y)E – произвольная. Тогда , где кривая L соединяет точки А и М, не зависит от пути, то есть является функцией х и у. Обозначим ее v(x,y) и найдем частные производные этой функции.

1^о. v(x,y) = .

2^о. v(x+x,y) = + , где L₁ соединяет точки М(x,y) и N(x+x,y).

3^о. _xv = = = =P(c,y)x (по теореме о среднем).

4^о. = P(с,y).

5^o. = P(x,y) (так как функция P(x,y) непрерывна), значит,

Аналогично Значит, Pdx+Qdy=dv – полный дифференциал. Теорема доказана полностью.

Пример. Докажем, что выражение (2xcosy–y²sinx)dx+ (2ycosx–x²siny)dy является полным дифференциалом. Здесь P(x,y)=2xcosy–y²sinx, = –2хsiny–2ysinx, Q(x,y)=2ycosx–x²siny, = –2ysinx–2xsiny, = . Значит, данное выражение является полным дифференциалом. Найдем его первообразную z(x,y):

z(x,y)= = x²cosy+y²cosx+C(y). Тогда = –х²siny+2ycosx+C(y). Но =Q(x,y)=2ycosx–x²siny, значит, C(y)=0, C(y)=С. Значит, z(x,y) = x²cosy+y²cosx+C.

4.Поверхностные интегралы

4.1.Поверхностный интеграл I рода

Пусть поверхность S задана в пространстве уравнением z = z(x,y), где функция z(x,y) имеет непрерывные частные производные в некоторой области DR². В этом случае будем называть поверхность гладкой.

Пусть теперь поверхность S содержится в области определения непрерывной функции f(x,y,z). Разобьем поверхность на n частей S₁, S₂, …, S_n; обозначим через S_k площадь части S_k, а через d_k – ее диаметр. Пусть d= – диаметр разбиения. Пусть ( )S_k. Составим интегральную сумму: S= . (*)

Определение. Если существует предел интегральных сумм (*) при d0, не зависящий от разбиения, то он называется поверхностным интегралом I рода функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается .

Примем без доказательства следующие свойства поверхностного интеграла I рода.

1^о. равен площади поверхности S.

2^о. =  .

3^о. = +

+ .

Напомним, что свойства 2^о и 3^о – это свойства линейности.

4^о. Если на поверхности S выполняется неравенство f(x,y,z) g(x,y,z), то  .

5^о. Если поверхность S разбита на части S₁ и S₂, не имеющие общих внутренних точек, то = = + (свойство аддитивности).

6^о. .

7^о. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и  – площадь поверхности, то существует такая точка (,,)S, что =f(,,)^. (теорема о среднем).

Можно доказать, что если поверхность S задана уравнением z=z(x,y), (x,y)D, то вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла: = .