3.4.Формула Грина

Рассмотрим область D, ограниченную гладкой замкнутой кривой L. Будем считать положительным такое направление обхода контура L, при котором область D остается слева.

Лемма 1. Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x=a, x=b (a<b) и гладкими линиями y=g(x), y=h(x), где g(x)≤h(x) при x[a;b] (криволинейная трапеция I вида), L – ее граница. Пусть функции P(x,y) и (x,y) непрерывны в области D. Тогда = – .

Доказательство. = =

= = . Так как интегралы по вертикальным отрезкам контура равны нулю, то полученная разность противоположна интегралу по всему контуру, то есть равна – , ч.т.д.

Аналогично доказывается и следующая лемма.

Лемма 2. Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y=c, y=d (c<d) и гладкими линиями x=g(y), x=h(y), где g(y)≤h(y) при y[c;d] (криволинейная трапеция II вида), L – ее граница. Пусть функции Q(x,y) и (x,y) непрерывны в области D. Тогда = .

Следствие. Формулы из лемм 1 и 2 верны, если область D – объединение конечного числа криволинейных трапеций I и II вида, не имеющих общих внутренних точек.

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть область D – объединение конечного числа криволинейных трапеций I и II вида, не имеющих общих внутренних точек, L – ее граница; функции P(x,y), Q(x,y), (x,y) и (x,y) непрерывны в области D. Тогда справедлива формула Грина:

= .

Пример. Вычислим с помощью формулы Грина , где L – граница области, ограниченной линиями y=x²–3x–2, y=x+3. Здесь P(x,y)= , = х+у–1, Q(x,y)= , =у+х. Значит, данный интеграл равен , где D – область, ограниченная линиями y=x²–3x–2, y=x+3. =

= = =36.

3.5.Условие независимости

криволинейного интеграла II рода

от пути интегрирования

Будем называть область D односвязной, если любая замкнутая линия, содержащаяся в D, ограничивает область, полностью лежащую в D.

Теорема 2. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), (x,y) и (x,y) непрерывны в односвязной области Е. Тогда =0 для любой гладкой замкнутой кривой LЕ тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области = .

Доказательство.  Пусть, например, < в некоторой точке (x_o,y_o)E. Тогда это неравенство выполняется в некотором круге D с центром в точке (x_o,y_o). Если L – граница этого круга, то = >0, что противоречит условию. К такому же противоречию приводит и предположение, что > в некоторой точке (x_o,y_o)E. Значит, в любой внутренней точке области = .

 Если = в любой внутренней точке области Е, то по формуле Грина =0 для любой гладкой замкнутой кривой LЕ. Теорема полностью доказана.

Теорема 3. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), (x,y) и (x,y) непрерывны в односвязной области Е, А и В – фиксированные точки этой области. Тогда , где L – гладкая замкнутая кривая, соединяющая точки А и В, не зависит от L тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке области = .

Доказательство.  Пусть данные точки соединены двумя гладкими кривыми L₁ и L₂. Тогда они образуют гладкий контур L, целиком лежащий в Е. =0, так как интегралы по L₁ и по L₂ берутся с противоположными знаками. Значит, по теореме 2 в любой внутренней точке области = .

 Пусть данные точки соединены двумя гладкими кривыми L₁ и L₂. Тогда они образуют гладкий контур L, целиком лежащий в Е. Так как в любой внутренней точке области = , то =0 по теореме 2. Значит, интегралы по L₁ и по L₂ равны. Теорема полностью доказана.

Пример. Рассмотрим , где кривая L задана формулами x=tcos²t, y=t(cost+1), 0≤t≤. Здесь P(x,y)=2ху, =2х, Q(x,y)=х², =2х, то есть = при всех (х,у). Значит, интеграл не зависит от пути интегрирования. Кривая L соединяет точки (0,0) и (0,). Заменим ее отрезком оси абсцисс от 0 до : = =0.