3.2.Определение и свойства

криволинейного интеграла II рода

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны во всех точках гладкой дуги AB, заданной уравнением y=(x), где axb. Рассмотрим разбиение этой дуги точками А₀, А₁, …, А_n, где А₀=А, А_n=В. Обозначим через x_k и y_k проекции дуги A_k-1A_k на ось абсцисс и ось ординат соответственно и выберем на каждой дуге A_k-1A_k точку (_k,_k). Сумма называется интегральной суммой II рода.

Определение. Если существует предел интегральных сумм II рода при max(x_k)0 и max(y_k)0, не зависящий от разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается .

Если плоская гладкая дуга АВ находится в поле действия переменной силы , то работа этой силы при перемещении материальной точки по дуге АВ равна (физический смысл криволинейного интеграла II рода).

Примем без доказательства свойства криволинейного интеграла II рода.

1^о. = + .

2^о. Если дуга L является объединением дуг L₁ и L₂, имеющих не более одной общей точки, и существуют и , то существует и , равный их сумме (свойство аддитивности).

3^о. Если АВ – отрезок, параллельный оси абсцисс, то на этом отрезке y=const, поэтому dy=0, а значит, =0 и = .

4^о. Если АВ – отрезок, параллельный оси ординат, то на этом отрезке х=const, поэтому dх=0, а значит, =0 и = .

5^о. Важным свойством криволинейного интеграла II рода является его зависимость от направления интегрирования: = – .

Замечание. Последнее свойство проще всего понять, используя физический смысл криволинейного интеграла II рода: при движении по дуге в противоположных направлениях одна и та же сила совершает противоположную по знаку работу.

3.3.Вычисление криволинейного интеграла II рода

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны во всех точках гладкой дуги AB, заданной уравнением y=(x), где axb. Тогда

= (мы заменили y на ), и значит,

= .

Аналогично, если дуга АВ задана уравнением х = (у), где cyd, получаем формулу:

= .

Наконец, если дуга АВ задана параметрически: x=x(t), y=y(t), t, – то

= .

Примеры. 1) Найдем в двух случаях:

а) дуга АВ – часть параболы y=x², 0x2; б) дуга АВ – часть параболы x= y², 0y4.

а) = = = =16.

б) = = = = =16.

2) Найдем , где дуга АВ – единичная окружность с центром в начале координат. Для этого зададим окружность параметрически: x=cost, y=sint, 0t2. Тогда = = –2.

3) Пусть в плоскости x0y действует сила . Найдем работу этой силы при перемещении из точки А(1;0) в точку В(2;3), если путь представляет собой: а) отрезок АВ; б) ломаную АСВ, где С(2;0).

а) Работа равна . Найдем уравнение отрезка АВ: , 1x2, то есть у=3х–3, 1x2. Значит, = = = =(8–18+18)–(1–4,5+9) =2,5.

б) Работа равна . Воспользуемся аддитивностью криволинейного интеграла II рода:

= + , где L₁ – отрезок АС, L₂ – отрезок СВ. Уравнение отрезка АС: у=0, 1х2; уравнение отрезка СВ: х=2, 0у3. Так как отрезок АС параллелен оси абсцисс, то =

= . Значит, работа на отрезке АС равна =0.

Аналогично = , то есть работа

на участке СВ равна = = 1,5.

Замечание. В приведенном примере работа силового поля зависит не только от начального и конечного положения перемещаемой материальной точки, но и от пути перемещения.