1.3.Вычисление двойного интеграла

Пусть D – криволинейная трапеция, ограниченная линиями x=a, x=b, y=g(x), y=h(x), где g(x)h(x) при x[a;b] (так называемая криволинейная трапеция I типа). Пусть f(x,y) – неотрицательная непрерывная на D функция. Рассмотрим цилиндрический брус с основанием D, ограниченный сверху поверхностью z= f(x,y). Пересечем этот брус плоскостью x = t и обозначим через S(t) площадь сечения. Тогда объем бруса равен . Спроецируем сечение на плоскость yOz. Получим криволинейную трапецию, ограниченную линиями: y=g(t), y=h(t), z=0, z=f(t,y). Значит,

S(t)= . Итак, объем бруса равен , или . Но объем бруса равен двойному интегралу функции f(x,y) по области D. Итак, для криволинейной трапеции I типа и для неотрицательной функции f(x,y) мы получили формулу:

= . (1)

Эта формула справедлива для любой функции, непрерывной на криволинейной трапеции I типа.

Замечания. 1) Для криволинейной трапеции II типа (ограниченной линиями y=c, y=d, x=g(y), x=h(y), где g(y)h(y) при y[c;d]) формула (1) видоизменяется так:

= . (2)

2) При вычислении «внутреннего» интеграла та переменная, по которой интегрирование не ведется, считается константой.

Примеры. 1) Вычислим двойной интеграл , где область D ограничена линиями y=2, y=x, xy=1. Изобразим область D на координатной плоскости. Линии y=x и xy=1 пересекаются в точке (1;1), линии y=x и y=2 – в точке (2;2), а линии y=2 и xy=1 – в точке (0,5; 2). Поэтому область D – объединение двух криволинейных трапеций I типа: D₁ (ограничена линиями x=0,5, x=1, y= и y=2) и D₂ (ограничена линиями x=1, x=2, y=x и y=2). Значит, = + . Поскольку 2 при x[0,5;1], то для первой криволинейной трапеции получаем: = = = =

= =

= = .

Аналогично, поскольку x2 при x[1;2], то для второй криволинейной трапеции получаем:

= = == = = = = .

Итак, = + = .

Заметим, что область D можно рассматривать как криволинейную трапецию второго типа, ограниченную линиями y=1, y=2, x= и x=y. Поскольку y при y[1;2], то = = = = =

= = .

2) Найдем объем тела, ограниченного координатными плоскостями, круговым цилиндром x²+y²=R² и гиперболическим параболоидом z=xy, где x0, y0, z0. Это тело представляет собой цилиндрический брус, основанием которого является область D – четверть круга в плоскости x0y (x²+y²=R², где x0, y0), а сверху его ограничивает поверхность z=xy. Значит, объем этого цилиндрического бруса равен . Область D представляет собой криволинейную трапецию I типа, ограниченную линиями x=0, x=R, y=0, y= . Значит, = = = = = .

1.4.Вычисление двойного интеграла

в полярных координатах

В некоторых случаях бывает удобно пользоваться следующей формулой, которую мы примем без доказательства:

=

Если область D ограничена лучами =, = (<) и линиями =₁₍) и =₂(), где ₁₍)₂() при , то это равенство переписывается в виде:

= .

Пример. Вычислим , где D – сектор круга x²+y²4, лежащий в III четверти между прямыми y=x и у=х . Для этого заметим, что в третьей четверти на луче прямой y=x угол = –+arctg1= – , а на луче прямой y=x угол = –+arctg = – . Область D ограничена этими лучами и линиями =0 и =2. Значит,

= =

= =

= =(2 – sin+ cos) = = .