Раздел VII. Кратные и криволинейные интегралы

1.Двойные интегралы

1.1.Определение двойного интеграла

Пусть DR² – замкнутая область, ограниченная непрерывной кривой. Пусть f(x,y) – функция, заданная и ограниченная на D. Пусть D = D₁D₂ …  D_n, где D_1, D₂, … D_n – области, не имеющие общих внутренних точек. Обозначим через S_k площадь области D_k, а через d_k – ее диаметр (наибольшее расстояние между точками данного множества). Набор D_1, D₂, … D_n назовем разбиением области D. Пусть d = – диаметр разбиения. В каждой области D_k выберем точку ( ) и составим интегральную сумму, соответствующую данному разбиению:

S = .

Определение. Если существует предел интегральных сумм при d0, не зависящий от разбиения, то функция f(x,y) называется интегрируемой в области D, а предел интегральных сумм называется двойным интегралом функции f(x,y) по области D и обозначается .

Примем без доказательства следующие утверждения.

1^о. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то она интегрируема в этой области.

2^о. Пусть в плоскости R² область D занята неоднородной пластиной, точечная плотность которой в точке (x,y) равна (x,y). Тогда масса этой пластины равна (физический смысл двойного интеграла).

3^о. Пусть DR² и DD(f), где f(x,y) – неотрицательная функция. Тогда объем цилиндрического бруса, ограниченного снизу областью D, а сверху – поверхностью z = f(x,y), равен (геометрический смысл двойного интеграла).

1.2.Свойства двойного интеграла

1^о. равен площади области D.

Доказательство. Составим интегральную сумму для функции f(x,y)=1. Тогда эта сумма равна сумме площадей областей D_k, то есть равна площади области D. Значит, все интегральные суммы одинаковы, поэтому их предел тоже равен площади области D, ч.т.д.

2^о. =  .

Доказательство. Каждая интегральная сумма для функции f(x,y) получается из интегральной суммы для функции f(x,y) умножением на . Значит, и предел интегральных сумм для первой функции равен пределу интегральных сумм для второй функции, умноженному на , то есть = ), ч.т.д.

3^о. = + .

Доказательство. Каждая интегральная сумма для функции f₁(x,y)+f₂(x,y) является суммой интегральных сумм для функций f₁(x,y) и f₂(x,y). Значит, и предел интегральных сумм для первой функции равен сумме пределов интегральных сумм для функций f₁(x,y) и f₂(x,y), то есть = + , ч.т.д.

Свойства 2^о и 3^о – это свойства линейности двойного интеграла.

4^о. Если функция f(x,y) интегрируема и неотрицательна в области D, то ее интеграл по этой области – неотрицательное число.

Доказательство. В любой интегральной сумме каждое слагаемое неотрицательно (неотрицательное значение функции умножается на положительное число – площадь области D_k). Значит, и предел интегральных сумм – число неотрицательное, ч.т.д.

5^о. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D, причем f(x,y)g(x,y), то  .

(Следствие предыдущего утверждения).

6^о. Аддитивность двойного интеграла. Если область D разбита на две области D₁ и D₂, не имеющие общих внутренних точек, и функция f(x,y) интегрируема в каждой из этих двух областей, то эта функция интегрируема и в области D, причем = + .

(Без доказательства).

7^о. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то существует точка (,)D такая, что = f(,)^.S, где S – площадь области D. При этом число f(,) называется средним значением данной функции в данной области.

(Без доказательства).