7. Несобственные интегралы

7.1.Несобственный интеграл первого рода

Определение 1. Пусть для любого с>a функция f(x) интегрируема на отрезке [a;с]. Если существует , то он называется несобственным интегралом первого рода функции f(x) и обозначается . В этом случае также говорят, что интеграл сходится. Если указанный предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл первого рода . Если оба интеграла и сходятся, то говорят, что сходится интеграл = + .

Примеры. 1) = = = = .

Аналогично = . А это означает, что тоже сходится и равен .

2) = = = . Этот предел не существует, поэтому интеграл расходится.

3) = = , если k1. Этот предел существует и равен , если k>1. Если же k<1, то предел равен бесконечности – интеграл расходится. Интеграл тоже расходится: = =. Итак, интеграл сходится тогда и только тогда, когда k>1.

7.2.Несобственный интеграл второго рода

Определение 2. Пусть функция f(x) не ограничена на отрезке [a;b], но для любого >0 f(x) интегрируема на отрезке [a; b–]. Если существует , то он называется несобственным интегралом второго рода функции f(x) и обозначается . В этом случае также говорят, что интеграл сходится. Если указанный предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл второго рода, если функция f(x) не ограничена на отрезке [a;b], но интегрируема на отрезке [a+; b] для любого >0.

Примеры. 1) = = = . Аналогично = = = .

Поэтому =.

2) = + . Каждое слагаемое – несобственный интеграл второго рода. Рассмотрим первый из них: = = == . Аналогично = =

= = . Значит, =

= .

3) = = , если k1. Этот предел существует и равен , если k<1. Если же k>1, то предел равен бесконечности – интеграл расходится. Интеграл тоже расходится: = =. Итак, интеграл сходится тогда и только тогда, когда k<1.

7.3.Признаки сходимости несобственных интегралов

Примем без доказательства следующие признаки сходимости несобственных интегралов – так называемые признаки сравнения.

1. Пусть для любого с>a функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a;с], причем 0f(x)g(x) при хa. Тогда, если интеграл сходится, то и интеграл сходится, а если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

2. Пусть для любого с>a функции f(x) и g(x) положительны и интегрируемы на отрезке [a;с]. Если существует 0, то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Следствие 1. Если существует 0, то интеграл сходится тогда и только тогда, когда k>1.

3. Пусть для любого >0 функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a; b–], причем 0f(x)g(x) при aх<b. Тогда, если интеграл сходится, то и интеграл сходится, а если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

4. Пусть для любого >0 функции f(x) и g(x) положительны и интегрируемы на отрезке [a; b–]. Если существует 0, то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Следствие 2. Если существует 0, то интеграл сходится тогда и только тогда, когда k<1.

Примеры. 1) Рассмотрим . Поскольку

0< < при x1, а интеграл сходится (так как

показатель 10 больше 1), то по первому признаку сравнения исходный интеграл сходится.

2) Рассмотрим . Поскольку при x0 подынтегральная функция эквивалентна дроби , то есть эквивалентна дроби = , а интеграл сходится (так как показатель меньше 1), то по четвертому признаку сравнения исходный интеграл сходится.

3) Рассмотрим . Если 0х<1, то 0   . Интеграл = – сходится (так как показатель меньше 1). Значит, по третьему признаку сравнения исходный интеграл сходится.

4) Рассмотрим . Поскольку при x подынтегральная функция эквивалентна дроби , а интеграл расходится, то по второму признаку сравнения исходный интеграл расходится.