5.2.Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – ее первообразная, то =F(b)–F(a).

Доказательство. Поскольку F(x) и Ф(x)= – первообразные функции f(x), то F(x)= +С. При х=а и х=b получаем: F(а)= +С, F(b)= +С. Отсюда С=F(а), F(b)= +F(а), =F(b)–F(a), ч.т.д.

Разность F(b)–F(a) обозначают F(х) .

Пример. Так как = +С, то = = .

5.3.Свойства определенного интеграла

1. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a;b],  и  – числа, то = + . Это свойство называют свойством линейности.

Действительно, если F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x), то по свойству линейности неопределенного интеграла F(x)+G(x) – первообразная функции f(x)+g(x). По формуле Ньютона-Лейбница =(F(x)+G(x)) =F(x) +G(x) = = + , ч.т.д.

2. Если функция f(x) непрерывна и положительна на отрезке [a;b], то >0.

Действительно, по теореме о среднем значении =f(с)(b–a), где с[a;b]. Значит, f(с)>0, а поэтому >0, ч.т.д.

3. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], причем f(x)g(x), то  .

Действительно, по свойству линейности –

– = , а по свойству 2 этот интеграл неотрицателен, ч.т.д.

Пример. =(2^. +3^. –4х) =

=( +3^. –4^.1)–( +3^. –4^.(–2))= –2–22= –24.

5.4.Замена переменной в определенном интеграле

Правило замены переменной в неопределенном интеграле и формула Ньютона-Лейбница позволяют обосновать следующее утверждение. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b], а x=(t) – непрерывная на отрезке [;] и дифференцируемая на интервале (;) функция, принимающая значения на отрезке [a;b], причем ()=a; ()=b. Тогда = .

Примеры.1) =

= = = . Последнее равенство верно потому, что на данном отрезке cost0, то есть cost=cost. = =

= = . Заметим, что – это площадь четверти круга с центром в начале координат и радиусом а.

2) = = =

= =0,25arctg =0,25(arctg1–arctg0)= .

5.5.Интегрирование по частям в определенном интеграле

Правило интегрирования по частям в неопределенном интеграле и формула Ньютона-Лейбница позволяют обосновать следующее утверждение. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], то =uv – .

Пример. = =0,5xe^2x –

– =0,5(2e⁴–e²)–0,25e^2x = e⁴–0,5e²–0,25e⁴+0,25e²=

=0,75e⁴–0,25e².

6. Геометрические и механические приложения определенного интеграла

6.1.Площадь плоской фигуры

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], причем f(x)g(x). Тогда площадь фигуры, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x), можно найти по формуле: S= .

Примеры. 1) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями x=1, x=2, y=5–x, y=x. На отрезке [1;2] имеем 5–x>x. Значит, S= = =(5х–х²) =6–4=2.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y=x–2 и y=x²–4х+2. Эти линии пересекаются при x=1 и x=4. На отрезке [1;4] имеем x–2 x²–4х+2. Значит,

S= = =

= = – =4,5.

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y=x–2 и y= . Эти линии пересекаются при x=1 и x=4. На отрезке [1;4] имеем x–2. Значит,

S= = + =

= + = –

– + – = .

Если фигура ограничена линией, заданной в полярных координатах: =(), – и лучами = и = (<), то ее площадь можно найти по формуле: S= .

Пример. Найдем площадь фигуры, ограниченной линией ²=2cos2 и лучами =0 и = : S= =

=0,5sin2 =0,5.