4.2.Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a;b]. Рассмотрим разбиение отрезка: a=x₀<x₁<…<x_n–1<x_n=b. На каждом промежутке [x_k–1; x_k], где 1kn, выберем точку _k. Обозначим x_k=x_k–x_k–1. Диаметром разбиения назовем число d= и рассмотрим сумму f(₁)x₁+f(₂)x₂+…+ f(_n)x_n; ее называют интегральной суммой данного разбиения.

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a;b], если при d0 существует предел интегральных сумм, не зависящий от разбиения. Значение этого предела называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .

Замечание. можно рассматривать и в том случае, когда a<b. Как видно из определения интегральной суммы, при этом все x_k<0, поэтому = – .

Приведенные в пункте 4.1 примеры характеризуют геометрический и физический смысл определенного интеграла: если f(x)0 на отрезке [a;b], то – площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=0; если (x) – переменная линейная плотность стержня, расположенного на отрезке [a;b], то –масса этого стержня.

4.3.Основные теоремы об определенном интеграле

Следующие две теоремы примем без доказательства.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и на отрезке [c;b], где a<c<b, то f(x) интегрируема на отрезке [a;b], причем = + .

Равенство = + называют свойством аддитивности определенного интеграла.

Теорема 3 (о среднем значении). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке существует такое число с, что = f(с)(b–a).

Доказательство. Пусть m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке. Тогда для всякой интегральной суммы S= справедливо неравенство: S , – то есть m(b–a)SM(b–a). А значит, m(b–a) M(b–a). Поэтому число заключено между наименьшим значением m и наибольшим значением M функции f(x). По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции существует c[a;b]: f(с)= , – ч.т.д.

Значение f(с) называется в этом случае средним значением функции f(х) на отрезке [a;b]. Геометрически теорема 3 означает, что если f(x)0 на отрезке [a;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f(x), y=0, равна площади прямоугольника, построенного на этом отрезке и имеющего высоту, равную значению функции в некоторой точке отрезка.

5. Вычисление определенного интеграла

5.1.Существование первообразной

для непрерывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a;х], если х[a;b]. Поэтому на отрезке [a;b] можно определить функцию Ф(x)= .

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция Ф(x)= дифференцируема на интервале (a;b), причем Ф(x)=f(x) при х(a;b).

Доказательство. Рассмотрим приращение функции Ф(x): Ф= – . Тогда по свойству аддитивности определенного интеграла Ф= . А по теореме о среднем значении существует такое с[х;х+х], что = f(с)х. Отсюда = f(с), с[х;х+х]. Тогда в силу непрерывности функции f(x) = f(x), ч.т.д.

Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, имеет на этом отрезке первообразную.