МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

___________________________________________

Кафедра «Прикладная математика-1»

Е.Б.Арутюнян

МАТЕМАТИКА

Часть 3

Рекомендовано редакционно-издательским

советом университета в качестве

учебного пособия

для студентов специальности

«УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА

В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ»

Москва – 2010

УДК 509

А 79

Арутюнян Е.Б. Математика. Часть 3. Учебное пособие.

– М.: МИИТ, 2010. – 88 с.

Учебное пособие по курсу «Математика» для студентов специальности «Управление и информатика в технических системах». Содержит три раздела курса: «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление функций одной переменной» и «Кратные и криволинейные интегралы».

Рецензенты: зав.кафедрой «Вычислительная математика» профессор В.Н.Деснянский; зам. зав.кафедрой прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина профессор С.Ю.Жолков.

© Московский государственный

университет путей сообщения

(МИИТ), 2010

Раздел V. Функции нескольких переменных

1. Основные понятия

Пусть DRⁿ. Отображение f : DR будем называть функцией n переменных. Если (х₁, х₂, ..., х_n) – элемент множества D, то его образ f(х₁, х₂, ..., х_n) – действительное число. Множество D – область определения функции f. Переменные х₁, х₂, ..., х_n называют аргументами этой функции.

Примеры. 1) Формула равномерного движения S=vt задает пройденный путь как функцию двух переменных – скорости и времени: S=f(v,t).

2) Закон Ома V=IR задает напряжение как функцию двух переменных – силы тока и сопротивления: V=f(I,R). 3) Формула объема прямоугольного параллелепипеда V=abc задает объем как функцию трех переменных – длины, ширины и высоты: V=f(a,b,c). 

Если f(x,y) – функция двух переменных, то область определения D(f) – часть плоскости.

Примеры. 1) Пусть f(x,y)= . Тогда D(f) состоит из всех точек (x,y), для которых 4–х²–у²0. Эти точки составляют круг с центром в начале координат и радиусом 2. Таким образом, D(f) – круг.

2) Пусть f(x,y)= . Тогда D(f) состоит из всех точек (x,y), для которых х–у  0. Эти точки составляют всю плоскость, кроме прямой х=у. Таким образом, D(f) – вся плоскость без этой прямой.

3) Пусть f(x,y)=ln(x²+y²–1). Тогда D(f) состоит из всех точек (x,y), для которых х²+у²–1>0. Эти точки составляют всю плоскость, кроме круга с центром в начале координат и радиусом 1. Таким образом, D(f) – вся плоскость без этого круга. 

Если f(x,y) – функция двух переменных, то поверхность z = f(x,y) называют графиком этой функции, а линии на плоскости, заданные уравнениями вида f(x,y)=С, называют линиями уровня.

Примеры. 1) Пусть f(x,y)= . Область определения этой функции, как показано выше, – круг с центром в начале координат и радиусом 2. График функции – поверхность z = , то есть полусфера: х²+у²+z²=4, z0. Линии уровня = С, если 0C<2, – это окружности с центром в начале координат и радиусом . Если С=2, то линия уровня состоит из одной точки – начала координат. При С<0 или С>2 линии уровня не существуют.

2) Пусть f(x,y)=х²+у²–1. Область определения этой функции – вся плоскость. График функции – поверхность z=х²+у²–1, то есть параболоид вращения с вершиной в точке (0;0;–1) и осью вращения Oz. Линии уровня х²+у²–1=С, если C>–1, – это окружности с центром в начале координат и радиусом . Если С=–1, то линия уровня состоит из одной точки – начала координат. При С<–1линии уровня не существуют.