45. Модель идеального газа

Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергиеймолекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).

Классический идеальный газ

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

объём частицы газа равен нулю (то есть, диаметр молекулы   пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними,  );

импульс передается только при соударениях (то есть, силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях);

суммарная энергия частиц газа постоянна (то есть, нет передачи энергии за счет передачи тепла или излучения)

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно сумме импульсов в единицу времени, переданной при столкновении частиц со стенкой, энергия— сумме энергий частиц газа. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева— Клапейрона где   — давление,   — концентрация частиц,   — постоянная Больцмана,   — абсолютная температура.

Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям описываетсяраспределением Больцмана: где   — среднее число частиц, находящихся в  -ом состоянии с энергией  , а константа   определяется условием нормировки:

где   — полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми— Дирака и Бозе— Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Для любого идеального газа справедливосоотношение Майера: где   — универсальная газовая постоянная,   — молярная теплоемкость при постоянном давлении,   — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Квантовый идеальный газ. Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна(Бозе-газ).