Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
статика,связи,реакции связей..docx
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
88.74 Кб
Скачать

Место теоретической механики среди естественных наук

Сегодня под механикой следует понимать совокупность достаточно обособленных отраслей знаний, базирующихся на первичных понятиях и аксиомах классической или теоретической механики.

В самой же современной теоретической механике изучается сравнительно узкий круг вопросов механики, а именно: механика материальной точки, механика абсолютно твердого тела и механика их систем.

Это произошло потому, что в ходе исторического развития ряд разделов теоретической механики, вследствие специфики объектов исследования и применяемых математических методов, становятся вполне самостоятельными науками. В этих науках обычно к моделям и законам теоретической механики добавляются новые модели и законы, характеризующие дополнительные свойства материальных тел.

В механике сплошной среды добавляется новая абстрактная модель - сплошная среда. В теории упругости и сопротивлении материалов учитываются деформации тел и добавляется закон о связи деформаций с силами. В гидродинамике учитывается скорость деформации и используется дополнительный закон о связи скоростей деформации и сил. В газовой динамике или аэродинамике, кроме того, учитывается сжимаемость газа.

В теоретической механике зародилась теория автоматического управления. Ее связывают с механикой не только исторические корни и общие методы, в ее основе лежат разделы теоретической механики - устойчивость равновесия и движения, теория колебаний. Указанные разделы часто излагаются в современном курсе теоретической механики, хотя они достаточно давно стали самостоятельными науками.

Механика вообще и теоретическая механика, в частности, имеют свою историю становления и непрерывно развиваются. Наибольший вклад в основу современной теоретической механики внесли великие ученые Галилей (1564 - 1642) и Ньютон (1643 - 1727). Вклад Ньютона настолько велик, что классическую механику часто называют ньютоновой механикой. Он обобщил знания в области механических явлений, сформулировал первичные понятия и аксиомы классической механики.

Дальнейшее развитие теоретической механики связано с именами многих ученых, наиболее выдающиеся из которых Даламбер (1717 - 1783), Эйлер (1707 - 1783), Лагранж (1736 - 1813). Русские ученые также внесли свой вклад в развитие теоретической механики. Из них более известны М.В. Остроградский (1801 - 1862), Н.Е. Жуковский (1847 - 1921), А.М. Ляпунов (1851 - 1918).

В последние десятилетия развитие механики связано с ракетостроением, практической космонавтикой или аэронавтикой. Здесь вклад русских и советских ученых велик. Основополагающие работы в этой области принадлежат И.В. Мещерскому (1859 - 1935), К.Э. Циолковскому (1857 - 1935), С.П. Королеву (1906 - 1966).

Разделы теоретической механики.

Теоретическая механика делится на три раздела: статику, кинематику и динамику.

Статика - учение о равновесии под действием сил.

Кинематика - учение о движении без учета сил.

Динамика - учение о движении под действием сил.

Так как равновесие - частный случай движения, то статику и динамику часто объединяют в один раздел, который называют кинетикой.

Основные понятия и аксиомы статики.

  • Предмет, основные понятия статики.

  • Аксиомы статики.

    • Первая аксиома.

    • Вторая аксиома.

    • Третья аксиома.

    • Четвертая аксиома.

    • Пятая аксиома.

    • Шестая аксиома.

В статике в соответствие с моделями теоретической механики изучают равновесие материальных точек, твердых тел и их систем. Наибольший интерес представляет равновесие твердого тела и систем твердых тел. Поэтому в статике мы будем изучать статику твердого тела и систем твердых тел.

Предмет, основные понятия статики.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучают равновесие тел под действием сил и преобразования систем сил.

Для статики и динамики одним из основных понятий является понятие силы. Состояние равновесия или движения тела зависит от его взаимодействия с другими телами. Меру этого взаимодействия в механике называют силой.

Из определения силы следует, что источником силы является только тело, а во взаимодействии могут находиться, как минимум, два тела. Силы могут возникать как при непосредственном контакте тел, так и при взаимодействии на расстоянии, например, силы всемирного тяготения.

Действие силы на реальное физическое тело, которое деформируется силой, определяется: 1) величиной или модулем силы; 2) направлением силы; 3) точкой приложения силы. То есть сила, приложенная к физическому телу, является связанным вектором, который нельзя перемещать внутри физического тела. Само же физическое тело и вместе с ним сила могут перемещаться в пространстве. На рис. 3 показана сила , приложенная в точке A. Длина отрезка AB в определенном масштабе равна модулю силы. Точка B называется концом вектора силы. Стрелка на конце вектора указывает направление силы. Прямая LM, на которой лежит вектор силы, называется линией действия силы.

М одуль силы находят сравнением с силой, принятой за единицу измерения. Основной единицей силы в Международной системе единиц является 1 ньютон (1 Н). Для измерения силы служат приборы, называемые динамометрами, в которых измеряемую силу сравнивают с линейной силой упругости, а величину силы определяют по деформации упругих элементов динамометров - пружин, торсионов и т.д.

Из математики известно, что связанные векторы определяются шестью независимыми параметрами. Скользящие векторы, которые можно переносить вдоль линии действия, определяются пятью параметрами, а свободные векторы, которые можно переносить параллельно самим себе в любую точку пространства, - тремя параметрами. Силу, как связанный вектор, удобнее определить в системе отсчета OXYZ (рис. 3) следующими параметрами. Это координаты точки приложения XA, YA, ZA и проекции силы на оси координат Fx, Fy, Fz . Первые три параметра определяют точку приложения силы A, а остальные три определяют величину и направление силы:

(1)

(2)

В выражении (2) представлены косинусы углов между осями координат и силой, которые называются направляющими косинусами и определяют направление силы в пространстве.

Далее физическое тело будем называть телом, а состояние движения или равновесия тела под действием сил будем называть состоянием.

Введем понятие системы сил. Системой сил назовем совокупность сил  , действующих на одно тело.

Так как силы, приложенные к телу и к твердому телу, не являются свободными векторами, то для систем сил используется понятие эквивалентности систем сил. Системы сил эквивалентны друг другу, если при замене одной системы сил   на другую   состояние тела не изменится. Математическая запись этого утверждения  .

Система сил является уравновешенной или эквивалентной нулю, если под ее действием тело находится в равновесии и тогда   ~ 0 .

В равновесии или покое все точки тела не перемещаются относительно системы отсчета. Точное определение равновесия будет сформулировано при изучении динамики. Если система отсчета движется, то равновесие называется относительным. Если система отсчета близка к неподвижной, то равновесие называют абсолютным или просто равновесием. При решении задач статики за неподвижную можно принять систему отсчета, оси которой связаны с поверхностью Земли.

В том случае, когда система сил   эквивалентна одной силе  , последняя называется равнодействующей.

В заключение пункта рассмотрим классификацию систем сил. Если на положение сил системы нет ограничений и силы произвольно расположены в пространстве, то систему сил называют произвольной или пространственной. Если силы системы лежат в одной плоскости, то систему сил называют плоской. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называются сходящимися, а силы, линии действия которых параллельны друг другу называют параллельными. Соответственно существуют пространственные и плоские системы сходящихся и параллельных сил.

Аксиомы статики.

А ксиомы статики сформулированы на основе многолетних наблюдений людей за равновесием тел в земных условиях. Исторически сложилось так, что они были поняты и применялись на практике значительно раньше, чем аксиомы динамики. Аксиомы статики являются следствиями аксиом динамики и могут быть доказаны на их основе. Поэтому статику можно излагать на основе аксиом динамики. Но можно излагать статику на основе ее аксиом, как самостоятельную науку. В учебных курсах чаще идут исторически сложившимся путем, так как для понимания учебного материала лучше изучать механику, начиная со статики.

Первая аксиома.

О равновесии твердого тела под действием двух сил.

Под действием двух сил твердое тело находится в равновесии только тогда, когда силы равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны.

Случай равновесия изображен на рис. 4. Система двух сил будет уравновешенной, или эквивалентной нулю, то есть  .

Вторая аксиома.

О добавлении (вычитании) уравновешенной системы сил.

Состояние твердого тела не изменится при добавлении (вычитании) к силам, действующим на твердое тело, уравновешенной системы сил.

Важное теоретическое значение имеет следствие из 2-ой аксиомы. Сформулируем это следствие, а затем докажем его.

Силу, приложенную к твердому телу, можно переносить вдоль линии действия без изменения состояния твердого тела.

Иными словами, сила, приложенная к твердому телу, является скользящим вектором, а не связанным вектором, когда сила приложена к деформируемому физическому телу.

Н а рис. 5 изображена сила F, приложенная в точке A твердого тела, обозначенная как FA. Добавим к силе FA уравновешенную систему двух сил с общей точкой приложения B. Точка B лежит на линии действия исходной силы, а величины FB и FB' выбраны равными величине FA. Сила FB' направлена противоположно исходной силе. В результате мы получили систему из трех сил (рис.5), эквивалентную одной исходной силе, когда  . Анализируя полученную систему сил, видим, что по первой аксиоме, силы FA и FB' образуют уравновешенную систему. Вычитая из системы сил   уравновешенную систему сил  , получаем, что  . Сила FB представляет собой исходную силу F, приложенную в точке B. То есть мы перенесли силу F вдоль линии действия из точки A в точкуB без изменения состояния твердого тела и следствие второй аксиомы доказано.

Третья аксиома.

Аксиома параллелограмма сил.

Две силы, приложенные к одной точке тела эквивалентны одной силе или равнодействующей, приложенной к той же точке и равной их геометрической сумме.

Э та аксиома устанавливает, что   (рис. 6). Она определяет точку приложения, величину и направление равнодействующей, которая является диагональю параллелограмма со сторонами, образованными силами. Согласно аксиоме,

; ...   ...

В торая и третья аксиомы позволяют разложить любую силу на две, три и т.д. составляющие. Задавая два направления, которые лежат с   в одной плоскости (рис. 6), можно построить параллелограмм, в котором диагональ изображает равнодействующую, а стороны изображают две составляющие. Аналогичное построение можно сделать в пространстве, разложив силу по трем направлениям, не лежащим в одной плоскости, как показано на рис. 7.

Четвертая аксиома.

Аксиома действия и противодействия (3-й закон Ньютона).

Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

З аметим, в четвертой аксиоме постулируется и то, что силы возникают только при взаимодействии тел, а источником силы является тело. То есть при наличии силы, нужно всегда искать тело, вызвавшее эту силу. Подчеркнем, что аксиома справедлива для любых тел - твердых, жидких и газообразных.

На рис. 8 показано взаимодействие двух тел, где силы не образуют уравновешенную систему сил, так как они приложены разным телам, и поэтому тела могут двигаться. Кроме того, нужно ясно понимать, что сила F1 - это сила, с которой тело 2 действует на тело 1, а сила F2 - это сила, с которой тело 1 действует на тело 2.

Пятая аксиома.

Аксиома отвердевания (принцип отвердевания).

Равновесие деформируемого физического тела не нарушится, если его в положении равновесия считать отвердевшим (твердым телом).

Содержание аксиомы очевидно. Ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья сварить между собой. Аксиома позволяет исследовать равновесие деформируемых физических тел. Она устанавливает связь между условиями равновесия твердого тела и деформируемого тела. Условия равновесия твердого тела являются необходимыми, но не являются достаточными для равновесия деформируемого тела. Если уравнений равновесия твердого тела недостаточно, то составляются дополнительные уравнения, где учитываются деформации тела, как это делается в теории упругости и сопротивлении материалов.

Шестая аксиома.

Аксиома связей (принцип освобождаемости от связей).

Рассмотрим новые понятия статики. К ним относятся: свободное тело; несвободное тело; связь; реакция связи; активная сила.

Тело называется свободным, если его движение в пространстве ничем не ограничено.

Тело, перемещения которого ограничены, называется несвободным телом.

Согласно шестой аксиоме, ограничить движение тела может только другое тело.

Тела, которые ограничивают движение свободного тела и делают его несвободным телом, называются связями.

Силы, с которыми связи действуют на несвободное тело, являются реакциями связей.

Остальные силы, не являющиеся реакциями связей, называются активными силами.

Сформулируем аксиому связей или принцип освобождаемости от связей.