13.Деформированное состояние в точке тела.

При действии внешних нагрузок точки заданного деформируемого тела перемещаются в пространстве. Допустим т. М недеформированного тела имела координаты (х,у,z). После деформации точка заняла положение М1 и ее координаты стали равны х1=х+u, y1=y+v, z1=z+w. где u,v,w – проекции вектора перемещений точки М на оси x,y,z. перемещения u,v,w являются ф-циями пространственных координат. В силу сплошности тела будем предполагать, что эти ф-ции и их частные производные требуемого порядка по x,y,z непрерывны. Если рассмотреть поведение элементарного параллелипипеда, вырезанного в недеформированном состоянии в окрестноститочки М, то в результате деформации в общем случае этот параллелипипед изменит и объем и форму.

Предполагая деформацию малой, представим ее в виде последовательности шести простейших деформ. (удлинения вдоль кождой оси и сдвиги в трех разных направлениях). Первые три определяют удлинения ребер вдоль осей и называются осевыми, три другие – деформ. сдвига. Деформацию сдвига можно представить по-разному, но во всех случаях она может быть приведена к одному. для случаев характерно одно и тоже напряженное состояние, так как поворот не элементарного объема как жесткого целого не приводит к появлению в нем дополнительных усилий.

Обобщенный закон Гука для изотропного тела.

О пределим деформации ε₁ и ε₂ в направлениях главных напряжений при плоском напряженном состоянии (рис.1). Для этого исполь­зуем закон Гука для одноосного напряженного состояния , а также зависимость меж­ду продольной и поперечной деформациями и принцип независимости действия сил. От действия одного напряжения σ₁ отно­сительное удлинение по вертикали равно ε₁₁=σ₁/E и одновременно в горизонтальном направле­нии относительное сужение равно ε₂₁=νσ₁/E

От действия одного только σ₂ имели бы в горизонтальном направлении удлинение ε₂₂=σ₂/E и в вертикальном направлении — сужение ε₁₂=νσ₂/E Суммируя деформации, получаем

ε₁= ε₁₁₊ ε₁₂= σ₁/E- νσ₂/E, ε₂= ε₂₂₊ ε₂₁= σ₂/E- νσ ₂/E Эти формулы выражают обобщенный закон Гука для плоского на­пряженного состояния.

Если известны деформации ε₁ и ε₂ то, решая уравнения от­носительно напряжений σ₁и σ₂, получим следующие формулы: σ₁=E(ε₁ + νε₂)/(1-ν²), σ₂=E(ε₂+ νε₁)/(1-ν²), Аналогично, для объемного (пространственного) напряженного со­стояния, когда все три главных напряжения σ_1,σ_2, σ₃отличны от нуля, получимε₁=1/E*[ σ₁-ν(σ₂ +σ₃), ε₂=1/E*[ σ₂-ν(σ₁ +σ₃), ε₃=1/E*[ σ₃-ν(σ₂ +σ₁), Уравнение представляют собой обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния. Деформации ε_1, ε_2, ε_3, в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

15.Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.

Р асcмотрим только плоское напряжённое состояние, показанное на рисунке для пластичного материала. n_τ=τ_-1/(τ_-1/τ_вτ_m+τ_a/ε_τ). Общий коэффициент запаса прочности устанавливаем по формуле: n=n_σn_τ/(n_σ²+n_τ²)^1/2.

При расчёте на прочность при сложном напряж. сост. сначала определяются эффективные коэффициенты концентрации напряжений : а_э^σ,а_э^τ. Затем опред. наибольшие и наименьшие нормальные напряжения переменного изгиба по ассиметричному циклу: σ_max=(P₀+P_max)/WL. Затем опред. коэфф. поверхностной чувствительности ε_п и общие коэфф. влияния на выносливость всех факторов:ε_σ= ε_п/a_э^σ и ε_τ=ε_п /a_э^τ. Дальше опред. наибольшие и наименьшие нормальные и касательные напряжения при переменном изгибе и кручении:

σ_max=M_max/W, σ_min=M_min/W, τ_max=M_kmax/W_p, τ_min=M_kmin/W_p Затем опред. средние напряжения и амплитуды циклов нормальных и касательных напряж.: σ_м= (σ_max+σ_min)/2, σ_a=(σ_max-σ_min)/2, τ_m=(τ_max+τ_min)/2, τ_a=(τ_max-τ_min)/2. Затем находится коэфф. запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям, откуда определяется искомая наибольшая допустимая сила.