26 Расчет тонкостенных осесимметричных конструкций, нагруженных внутренним давлением
Если толщина стенок
цилиндра мала по сравнению с радиусами
и , то известное выражение для тангенцальных
напряжений приобретает вид
Для тонкостенных конструкций, имеющих
форму поверхностей вращения и находящихся
под внутренним давлением р, распределенным
симметрично относительно оси вращения,
можно вывести общую формулу для
вычисления напряжений. Выделим (Рис.1)
из рассматриваемого резервуара элемент
двумя смежными меридиональными сечениями
и двумя сечениями, нормальными к
меридиану.
Рис.1 Фрагмент тонкостенной конструкции (резервуар) и его напряженное состояние.
Размеры элемента
по меридиану и по перпендикулярному к
нему направлению обозначим соответственно
и
, радиусы кривизны меридиана и
перпендикулярного к нему сечения
обозначим
и
, толщину стенки назовем t. По симметрии
по граням выделенного элемента будут
действовать только нормальные напряжения
в меридиальном направления и
в направлении, перпендикулярном к
меридиану. Соответствующие усилия,
приложенные к граням элемента, будут
и
. Так как тонкая конструкция сопротивляется
только растяжению, подобно гибкой нити,
то эти усилия будут направлены по
касательной к меридиану и к сечению,
нормальному к меридиану. Усилия
(Рис.2) дадут в нормальном к поверхности
элемента направлении равнодействующую
ab, равную
Рис.2 Равновесие элемента
Подобным же образом
усилия
дадут в том же направлении равнодействующую
Сумма этих усилий уравновешивает
нормальное давление, приложенное к
элементу
Отсюда
Это основное уравнение, связывающее
напряжения
и
для тонкостенных сосудов вращения,
дано Лапласом.
Для
сферического сосуда радиусом
, находящегося под внутренним давлением
,
по симметрии
; тогда из уравнения (Лапласа), так как
и
36)Механика хрупкого разрушения. Расчеты за пределами упругости.
Ещё
одним простейшим критерием хрупкого
разрушения материалов является критерий
наибольших удлинений Сен-Венана,
согласно которому предельное состояние
материала в частице тела достигается
тогда, когда максимальное растягивающее
удлинение
достигает
некоторого предельного постоянного
значения, равного относительному
удлинению
при разрыве от растяжения, т.е.:
Для хрупкого материала Поэтому получаем:
,
где величину назовём эквивалентным удлинением.
Данный критерий не нашёл на практике должного экспериментального подтверждения. Однако он в некоторых случаях даёт качественное подтверждение характера разрушения материалов. Например, при сжатии ряда горных пород возникают продольные трещины разрушения. При сжатии и выпучивании цилиндрической оболочки из дюраля возникают продольные трещины от окружного растяжения при отсутствии соответствующего растягивающего напряжения и др.