34)Формула Ясинского-Тетмайера.
(16)
Эта величина зависит от физически свойств материала стержня. Условие (15) перепишем в виде
.
(17)
Окончательно,
если наибольшая гибкость больше
предельной для данного материала, то
стержень будет терять устойчивость
при напряжениях меньше предела
пропорциональности
,
а если условие (17) не удовлетворяется
и
,
то стержень будет терять устойчивость
при упруго-пластических деформациях. В
этом случае для критической силы
применяется эмпирическая формула
Ясинского-Тетмайера
(1)
где а и в – коэффициенты, зависящие от материала и приводимые в справочниках.
При
этом
(2)
Таким образом, критические напряжения в любой стадии деформации зависят от гибкости :
(3)
в упругой – по формуле (14) - гипербола Эйлера, в упруго-пластической – по формуле (2) – прямая Ясинского.
При некотором значении гибкости, которое можно обозначить через λ0 , величина критических напряжений становится равной предельному напряжению сжатия (либо пределу текучести, либо пределу прочности). Это значение гибкости будет границей применимости формулы Ясинского. Таким образом, критические напряжения вычисляют по формуле Ясинского тогда, когда гибкость стержня меньше λпред, но не ниже λ0.
Если рассчитываемый стержень оказался малой гибкости λ < λ0 , то опасность потери устойчивости меньше опасности разрушения, и такой стержень надо рассчитывать на прочность, а не на устойчивость.
35.Способ расчета на продольный изгиб методом последовательных приближений.
Расчет стоек на продольный изгиб затруднен тем, что критические напряжения для стоек малой, средней и большой гибкости определены различными формулами и не всегда заранее известно, какой из них надо пользоваться при определении критической нагрузки.
В расчетах стержней на продольный изгиб встречаются задачи двух типов.
Тип первый. Заданы размеры, материал и условия закрепления стержня и выбран коэффициент запаса устойчивости ny. Требуется определить допускаемую нагрузку Рдоп.
Тип второй. Заданы нагрузка Р, коэффициент запаса устойчивости ny, материал, условия закрепления и форма поперечного сечения стержня. Требуется подобрать размеры сечения.
Ф
орму
сечения стараются подобрать так, чтобы
моменты инерции относительно его
главных центральных осей возможно
меньше отличались друг от друга. В
рассматриваемом случае неизвестна
гибкость стержня λ, так как неизвестны
размеры сечения, и, следовательно,
неизвестно, по какой из формул для σк
вести расчет. Задачу подбора размеров
сечения приходится решать методом
последовательных приближений.
Первоначально воспользуемся формулой Эйлера для определения Imin. Затем подберем размеры, соответствующие найденному значению Imin. Далее определим гибкость выбранного стержня и проверим, можно ли было вести расчет по формуле Эйлера.
Если λ>λo, то формула Эйлера применима и задача подбора размеров поперечного сечения решена.
Е
сли
λ<λo, то расчет по формуле Эйлера вести
было нельзя и найденные размеры сечения
меньше требуемых. В этом случае зададимся
размерами, большими вычисленных по
формуле Эйлера. Для принятых размеров
определим Рдоп с помощью одной из
формул:
(13.15),
(13.16),
(13.17), и сравним найденное значение
Рдоп=σкF/ny с заданной нагрузкой Р. Если
разница между Рдоп и заданной нагрузкой
Р меньше 5%, то останавливаемся на
выбранных размерах, и расчет закончен.
Если же разница больше 5%, то расчет надо
повторить, изменив размеры сечения.
Пример 13.1
Определить допускаемую нагрузку для стойки (рис. 13.12), выполненной из двутавра №18, в случаях l=4 м и l=2.5 м, принимая запас устойчивости ny=2.5.
Данные для сечения двутавра № 18: площадь F=30,6 см2, imin=iy=2,0 см, Imin=Iy=122 см4.
Рис. 13.12.
Для материала стоек λo=100. Гибкость первой стойки λ=μl/imin=0,7•400/2=140>100.
Поэтому для определения критической силы надо воспользоваться формулой Эйлера, а допускаемую нагрузку определить по формуле (13.18):
Гибкость второй стойки λ=μl/imin=0,7•250/2=87.5<100.
Следовательно, выпучивание стойки происходит при σr>σпц и для определения допускаемой нагрузки можно воспользоваться формулой
или
Расчет на устойчивость выполняется методом последовательных приближений (методом итераций). Вначале задаются значением ϕ = 0.5-0. 6и определяют требуемую площадь поперечного сечения A>=N/φ*R
Для этого сечения находят момент инерции , минимальный радиус инерции и гибкость стержня площадь поперечного сечения
Используя найденное значение гибкости, по табл. 2.1 определяют новую величину коэффициента ϕ и вычисляют расчетные напряжения
Процесс последовательных приближений (итерационный процесс) продолжается до тех пор, пока разница между величиной расчетных напряжений и расчетным сопротивлением материала не будет меньше величины, установленной СНиПом. Обычно требуется, чтобы разница между двумя указанными величинами не превышала 3 − 5%.