Лекция 8. Логические основы построения компьютера
8.1. Основные понятия и примеры
Для начала познакомимся с некоторыми понятиями, определениями логики высказываний и рассмотрим некоторые примеры.
Высказывание - это мысль, выраженная повествовательным предложением и могущая быть истинной или ложной.
Аналитическое высказывание - это высказывание, истинность или ложность которого может быть установлена исключительно на основе анализа его грамматической или логической структуры. Примерами истинных аналитических высказываний являются логические законы.
Логика высказываний - это раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др.
Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.
Суждение - форма мышления, представляющая собой сочетание понятий, из которых одно (субъект) определяется и раскрывается через другое (предикат).
Логический закон - название законов, образующих основу логической дедукции; схема логической связи высказываний, выражаемая общезначимой формулой логики (аксиомой или теоремой), убедительность которой вытекает из одного только истолкования входящих в нее логических операций и по существу не связана с фактической истинностью "наполняющих" ее высказываний.
Тождественная истинность - свойство сложных высказываний быть истинными в силу своей формально-логической структуры и смысла используемых в них логических операций. Будучи независимыми от содержания входящих в них конкретных высказываний, тождественно-истинные высказывания выступают в качестве логических законов.
Высказывание может быть простым или сложным, истинным или ложным.
Высказывание "Идет дождь" - простое, а истинное оно или ложное зависит от того какая погода сейчас за окном. Если действительно не переставая льет дождь, то высказывание - истинное, а если нещадно палит солнце, и бесполезно ждать дождя раньше октября, то высказывание "Идет дождь" будет ложным.
А можно взять для примера более определенное (в смысле значения истинности) высказывание "Луна - спутник Земли" - простое и истинное. А вот "Солнце - спутник Земли" будет ложным высказыванием (и простым). Усложняем задачу: "Луна - спутник Земли и Солнце - спутник Земли". На этот раз наше высказывание сложное, т.к. оно состоит из двух простых, и, что самое важное, это высказывание ложное, так уж устроена логическая (пропозициональная) связка "и" (конъюнкция). Если она объединяет истинные высказывания - сложное высказывание будет истинным, а во всех остальных случаях - ложным. А сколько всего случаев? Каждое высказывание может быть истинным или ложным, если рассматривать два высказывания, то получим 4 комбинации: оба истинные, оба ложные, одно истинное, другое ложное, и наоборот.
Рассмотрим теперь высказывание "Луна - спутник Земли или Солнце - спутник Земли" - сложное и истинное. На этот раз связующим звеном выступает "или" (дизъюнкция), которая принимает ложное значение только когда все входящие высказывания - ложные, если хотя бы одно истинное, то все дизъюнктивное высказывание - истинное.
Но мы еще можем превратить высказывание "Луна - спутник Земли" в ложное, а "Солнце - спутник Земли" в истинное, если скажем "Неверно, что Луна - спутник Земли" и "Неверно, что Солнце - спутник Земли". Так действует на высказывания связка "не" (отрицание): истинные высказывания превращает в ложные, а ложные - в истинные. Теперь высказывание "Луна - спутник Земли и неверно, что Солнце - спутник Земли" - истинное, "Неверно, что Луна - спутник Земли или Солнце - спутник Земли" - ложное.
Еще одна интересная связка "если ..., то ..." (импликация). Рассмотрим высказывание "Если Луна - спутник Земли, то и Солнце - спутник Земли". Здравый смысл подсказывает, что это высказывание ложное, но истинным будет "Если Луна - спутник Земли, то неверно, что Солнце - спутник Земли". Высказывание же "Если Солнце - спутник Земли, то и Луна - спутник Земли" - истинное, несмотря на кажущуюся абсурдность. И высказывание "Если Солнце - спутник Земли, то все что угодно" - тоже истинное. В таких случаях забавными являются высказывания типа "Если я - балерина, то Луна - зеленая".
Перечислить все возможные комбинации логических значений двух и трех высказываний можно с помощью следующих таблиц:
|
a |
b |
|
a |
b |
c |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
Двум высказываниям соответствуют 4 строчки в таблице. Для трех различных высказываний - 8 комбинаций, 4-х - 16 и т.д. n высказываний - 2^n комбинаций.