2.3 Порядок расчета.

Для расчета уровней размерного квантования, квазиуровней Ферми и волновых функций электронов и дырок в условиях одноосного сжатия при использовании программы необходимо было проделать следующие процедуры: (1) ввод необходимых параметров соединений, из которых состоит изучаемая структура; (2) моделирование гетероструктуры; (3) далее указываются внешние параметры (давление, температура); (4) расчёт зонной диаграммы гетероструктуры; (5) наконец после выбора модели расчета из 5-ти возможных (модели: Латтинжера-Кона 4x4+conduction band, Латтинжера-Кона 6x6+conduction band, Латтинжера-Кона 8x8, Латтинжера-Кона 4x4, Латтинжера-Кона 6x6), программа рассчитывает значения уровней размерного квантования, волновые функции, уровни Ферми.

•Расчёт начинался с того, что на основании литературных данных [27,28] для GaAs, AlAs, Al_xGa_1-xAs, GaP вводились значения необходимых для проведения расчётов параметров: постоянная кристаллической решетки и величина энергетической щели, константы упругости, значения деформационных потенциалов и диэлектрической проницаемости, параметры Латтинжера и т.д. (Рис.12). Поскольку для GaAs_yP_1-y в литературе данные о параметрах отсутствовали, то необходимые величины определялись предусмотренной в программе процедурой линейной экстраполяции между значениями, отвечающими бинарным сплавам GaAs и GaP. Эта же процедура применялась для определения значений некоторых параметров в Al_xGa_1-xAs по литературным данным для GaAs и AlAs. Чтобы убедиться в разумности результатов экстраполяционной процедуры тем же методом был проведён расчёт значений таких параметров, как энергетическая щель и постоянной решетки, для хорошо представленных в литературе [27] четверных сплавов InGaAsP на основании литературных данных [28] о параметрах InGa и рассчитанных нами значений для GaAs_yP_1-y.

Рис.14. Таблица вводимых параметров.

• При моделировании структуры было необходимо ввести для подложки и каждого слоя состав, толщину, концентрацию и тип легирующих примесей (в дальнейшем при расчётах примесь считалась полностью ионизованной, что обеспечивало моделирование встроенного поля p-n-перехода (Рис. 13)).

Рис.13. Зонная диаграмма центральной части гетероструктуры p-Al_xGa_1-xAs/GaAs_1-yP_y/n-Al_xGa_1-xAs при Р = 0 (в валентной зоне состояния легких и тяжелых дырок расщеплены из-за биаксиальной деформации).

При расчёте конкретной структуры программой возникла следующая проблема: в программе не предусмотрено описание варизонных структур. Поэтому, прилегающие к квантовой яме из GaAs_0.84P_0.16 слои Al_xGa_1-xAs с плавно изменяющимся содержанием алюминия от х = 0.3 до x = 0.45 (Рис.11) были разбиты на три независимых слоя одинаковой толщины и имеющие состав x=0.3, x=0.4 x=0.45 (Рис.15).

• Для моделирования реальных условий эксперимента вводится необходимое значение температуры, а также предусмотрен учёт приложенного одноосного давления с указанием его направления. Учёт влияния внешних воздействий описан выше.

• При расчёте зонной диаграммы структуры учитывалось, что из-за значительной разницы постоянной решетки слой GaAs_0.84P_0.16 находится во внутренне напряженном, а именно биаксиально растянутом состоянии. Полагая, что тонкий слой GaAsP повторяет структуру слоёв Al_xGa_1-xAs, рассчитывались значения деформации в нём:

, (14)

где a₀ и а - постоянные решетки AlGaAs и GaAsP соответственно (при этом a₀ > а), C₁₁ и C₁₂ ,- упругие константы в GaAsP. Затем, используя необходимое из выражений (10), (11) или (13), рассчитывался вклад в деформацию, вызванный внешним воздействием, и, наконец, используя значения деформационных потенциалов определялись значения энергетических щелей между дном зоны проводимости и потолком лёгких и тяжёлых дырок в GaAsP.

Также считалось, что скачок потенциала на гетерогранице составляет 60% и 40% от величины изменения энергетической щели для зоны проводимости и валентной зоны соответственно [new8].

• Далее проводился расчёт волновых функций электронов и дырок и соответствующих значений энергии пространственного квантования. Чтобы иметь возможность сравнить результаты с данными работ [1,2,new1,new2,new4], считалось, как и в перечисленных работах, что концентрация неравновесных носителей в КЯ n = p = 2×10¹² см^-2.

Возможности использованной вычислительной техники позволяли провести расчёт за разумное (порядка часа) время на сетке не более чем из 200 точек только при использовании для описания спектра дырок наиболее простой модели - гамильтониана Латтинжера 4x4. В результате при равномерном распределении точек по всей структуре реальная точность воспроизведения вида волновой функции, которая, очевидно, сосредоточена прежде всего в квантовой яме, оказывается недостаточной, чтобы корректно рассчитать пространственный потенциал из уравнения Пуассона, а, значит, гарантировать достаточную точность расчёта энергии пространственного квантования. Поэтому расчёт проводился в два этапа. На первом использовалось равномерное распределение точек, и на результате полученных волновых функций выяснялась реальная область локализации, которая фактически ограничивалась квантовой ямой и прилегающими к ней ближайшими слоями (огибающая волновых функций затухала в 100 раз на расстоянии 18 нм от границы КЯ). На следующем этапе расчёт проводился для сетки, имеющей большую концентрацию точек в значимой части структуры: в квантовой яме GaAs_0.84P_0.16 и четырёх ближайших к ней слоях Al_xGa_1-xAs.

Следует сказать, что в использованной программе волновые функции электронов и дырок вычисляются в виде разложения по базисным функциям в представлении Латтинжера-Кона с полным угловым моментом J=3/2 и его проекциями m_j = ±1/2 и m_j = ±3/2 для лёгких и тяжёлых дырок соответственно. При одноосном сжатии в плоскости структуры симметрия падает, и это приводит к перемешиванию базисных функций, описывающих лёгкие и тяжёлые дырки в недеформированном кристалле. Вследствие этого при такой деформации определить связь уровня с лёгкими или тяжёлыми дырками становится непросто. Однако интерфейс используемой программы предусматривает вывод огибающих волновых функций по базисным для каждого из уровней в КЯ. В результате, следуя подходу работы [32], если проинтегрировать квадрат модуля огибающей в значимой области её существования, то можно установить вклад в волновую функцию от каждой из базисных функций и связать природу уровня с лёгкими или тяжёлыми дырками.

После расчета спектра и волновых функций использованная программа позволяла ввести схему возможных оптических переходов между системой уровней и рассчитать значения матричных элементов оператора электрон фотонного взаимодействия для этих переходов между состояниями i и j:

Aep_ji, (15)

где A = A₀e - векторный потенциал электромагнитной волны, e – единичный вектор, задающий поляризацию фотонов, – оператор импульса, e – заряд и m₀ – масса электрона, а затем по известной методике [26, new9] и коэффициент оптического усиления g для энергии E_ph = hω:

ep_vc². (16)

Здесь суммирование идет по волновому вектору k, E_(c) и E_(v) – энергии соответствующих состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, n_r – коэффициент преломления, f_c и f_v – Фермиевские функции распределения электронов и дырок, квазиуровни Ферми которых определяются концентрацией носителей:  f_c(v).dE = n(p).

Коэффициент оптического усиления показывает, как нарастает интенсивность волны I по мере прохождения среды на расстояние d за счет рекомбинации электронов и дырок. По сути это отрицательный коэффициент поглощения  и рассчитывается по той же формуле во втором порядке теории возмущений, о чем говорит квадрат матричного элемента в выражении (16). Только положительный вклад, как видно, дают теперь переходы между занятыми состояниями электронов в зоне проводимости c и свободными состояниями в валентной зоне v, т.е. процессы рекомбинации электронов и дырок с энергиями E_(с) - E_(v) = hω.