2 Методика расчёта

2.1 Исследуемая гетероструктура

Интересующие нас структуры ранее исследовались не только теоретически, но и экспериментально в работах [1,2,new2/ new1, new3]. Они были выращены в Институте Фердинанда Брауна (Берлин) методом металлоорганической парофазной эпитаксии на ориентированных в плоскости (100) подложках из легированного кремнием GaAs (Рис.2.1). Сначала на подложку наносились слои Al_xGaAs_1-x n-типа с плавно меняющейся концентрацией алюминия и различным уровнем легирования. Далее для создания квантовой ямы размещался слой GaAs_yP_1-y, причем из-за различия постоянных решетки слоев GaAs_yP_1-y и слои Al_xGa_1-xAs квантовая яма получалась биаксиально растянутой на 0,58%. Затем размещались слои Al_xGa_1-xAs только уже p-типа. Состав каждого слоя (представлен на Рис.11), а также их толщины и уровень легирования (на Рис.11 по просьбе изготовителя не представлены) использованы в качестве вводимых параметров при расчёте.

p-GaAsp-Al0.7-0Ga0.3-1Asp-Al0.7Ga0.3Asp-Al0.45Ga0.55Asp-Al0.45Ga0.55Asp-Al0.45Ga0.55Asp-Al0.45Ga0.55Asp-Al0.3-0.45Ga0.7-0.55AsGaAs0.84P0.16n- Al0.3-0.45Ga0.7-0.55Asn-Al0.45Ga0.55Asn-Al0.45Ga0.55Asn-Al0.45Ga0.55Asn-Al0.45Ga0.55Asn-Al0.45-0.7Ga0.55-0.3Asn-Al0.7Ga0.3Asn-Al0.7GaAs0.3n-Al0.7-0Ga0.3-1Asn-GaAs

Рис.11 Схематическое изображение структуры

2.2 Особенности используемой программы.

Расчеты были выполнены с помощью программы “Heterostructure Design Studio 2.1”, написанной бывшим аспирантом нашей кафедры Колоколовым К.И.. В основе программы заложен конечно-разностный метод, позволяющий самосогласованно решать уравнение Шредингера с к-р гамильтонианом в представлении Латтинжера-Кона с учётом членов, описывающих деформацию, и уравнение Пуассона для электростатического потенциала. Программа позволяет проводить численный расчет зонной структуры, электронных и оптических свойств квантовых ям различной формы и состава, а также определять положение уровней размерного квантования, непосредственно в самой яме, как при нормальных условиях, так и при одноосном сжатии вдоль различных кристаллографических направлений. Помимо этого предусмотрен учет влияния температуры и электрического поля.

•Согласно Биру и Пикусу [22] изменение энергии dЕ состояний в зоне проводимости в окрестности точки Г в GaAs, AlAs, GaP, при деформации кристалла, описываемой тензором e_ij, определяется одним деформационным потенциалом a_c = D_xx:

dЕ = D_xx(e_xx +e_yy +e_zz) , (1)

где x, y, z отвечают, соответственно, кристаллографическим направлениям [100], [010] и [001] (в программе “Heterostructure Design Studio 2.1” считается, что две первых координаты отвечают плоскости структуры, а третья “z” – направлению роста структуры). Т. е. деформация приводит к сдвигу энергетического спектра электронов.

Воздействие деформации на валентную зону значительно сложнее и требует привлечения трех деформационных потенциалов a_v, b, d. В представлении Латтинжера Кона [23] гамильтониан 4×4, описывающий состояния легких и тяжелых дырок в окрестности точки Г, при наличии деформации, может быть представлен в виде [24]:

, (2)

где:

,

,

,

k_x, k_y, k_z – компоненты квазиимпульса, отсчитываемого от точки Г, m – масса свободного электрона, g_i – параметры Латтинжера.

Если одноосная деформация прикладывается вдоль направлений [110], [100] или [001] (к последней сводятся плоско-напряжённые состояния, обусловленные несоответствием решёток), матрица (1) может быть унитарным преобразованием [25] приведена к виду:

(3),

где:

(4),

(5).

•Для обеспечения самосогласованности расчета необходимо совместное решение уравнения Пуассона, которое позволяет рассчитать пространственный потенциал, связанный с неоднородным распределением заряда, и уравнение Шредингера с гамильтонианом, включающим как этот пространственный потенциал, так и матрицу Н' (3). Для решения такой системы интегро-дифференциальных уравнений обычно используется самосогласованный метод: сначала вычисляются собственные значения и собственные функции с гамильтонианом H’, т.е. без пространственного потенциала. После этого из уравнения Пуассона определяется потенциал уже с учетом вклада от появившегося неоднородного распределения заряда, который снова подставляется в гамильтониан. Эту операцию необходимо проводить до тех пор, пока каждая последующая итерация уже не будет приводить к изменению решения. В общем случае такая схема не всегда работает и процесс самосогласования необязательно сходится. Однако для системы с уравнением Шредингера с гамильтонианом, учитывающим наличие квантовой ямы, такой метод имеет хорошую сходимость и 20 итераций достаточно для устойчивости седьмого значащего разряда в значении энергии, получаемой из нахождения собственных значений гамильтониана.

• Расчет отвечающего за учет деформации члена гамильтониана дырок H’ производился по формулам (3), (4) и (5) с использованием литературных данных о значениях деформационных потенциалов и вычисляемых самой программой значений тензора деформаций.

Значения тензора деформации при одноосном сжатии вдоль направления [110] находились из следующих соображений. Считалось, что компоненты ε_ij тензора определены в системе координат xyz. Тогда в системе координат x’y’z’ , повернутой вокруг оси z относительно xyz на 45°, тензор напряжений имеет вид:

(6)

где Р-величина одноосного давления. При переходе от одной системы координат к другой, компоненты тензора изменяются по закону:

(7)

где суммирование идет по дважды повторяющимся индексам, а матрица А_il представляет собой матрицу перехода из одной системы координат в другую. В рассматриваемом случае она имеет вид:

. (8)

После преобразования тензора, в системе координат xyz получается:

. (9)

После использования закона Гука, связывающего тензор напряжений и тензор деформации, получаются следующие выражения для компонент тензора ε_ij при одноосной деформации вдоль направления [110]:

, (10)

где S₁₁, S₁₂, S₄₄ – модули упругости.

В случае одноосной деформации вдоль направления [100] тензор напряжений имеет вид (6) в исходной системе координат xyz. Применяя закон Гука в этом случае, получаем следующие выражения для ненулевых компонент тензора деформации:

. (11)

Наконец, в случае одноосной деформации вдоль направления [001] тензор напряжений в системе координат xyz имеет вид:

. (12)

Соответственно, ненулевыми в этом случае являются следующие компоненты тензора деформации:

. (13)

• При расчетах учитывалось, что температура влияет на ширину запрещенной зоны и вызывает изменение постоянной решетки. Для описания температурной зависимости ширины запрещенной зоны использовалось эмпирическое выражение [27,28]:

где α и β - подгоночные параметры, а _g(0) - ширина запрещенной зоны при нулевой температуре. Изменение постоянной решетки с температурой учитывалось в простейшем линейном приближении:

a_lc(T)=a_lc(0)+a_T(T-300)

где a_T- линейный коэффициент расширения, . a_lc(0) – постоянная решетки при комнатной температуре. Все необходимые значения параметров вводились на основании литературных данных [27,28].