5. Приведение парной игры к задаче линейного программирования

Игра размера mxn не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко, но принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задаче линейного программирования.

Наряду с приводимыми выше теоремой Неймана и теоремой об активных стратегиях справедлива следующая терема теории игр.

Теорема. Для того чтобы число v было ценой игры, а U* и Z*- оптимальными стратегиями, необходимо и достаточно выполнение неравенств:

aij ≥ v,    , aij ≤ v,    .

Рассмотрим игру mxn, определяемую матрицей:

A =

a11   a12    ...     a1n a21   a22    ...     a2n       ... am1  am2   ...     amn

.

Как и ранее, игрок A обладает стратегиями A₁, A₂, ..., A_m, игрок В – стратегиями B₁, B₂, …, B_n. Требуется определить оптимальные стратегии игроков U^* и Z^*.

Рассмотрим оптимальную стратегию U^* игрока A.

Согласно теореме, приведенной выше, справедливо следующее утверждение.

Если игрок А применяет смешанную стратегию U^* = ( , , ..., ) против чистой стратегии B_j игрока В, то он получает средний выигрыш или математическое ожидание выигрыша a_j = a_1j + a_2j + ... + a_mj , .

Для оптимальной стратегии U^* все средние выигрыши не меньше цены игры v, поэтому получаем систему неравенств:

a11 + a21 + ... + am1 ≥ v, a12 + a22 + ... + am2 ≥ v, ... a1n + a2n + ... + amn ≥ v.

(5.3)

Предположим для определенности, что v > 0.

Этого всегда можно достигнуть благодаря тому, что прибавление ко всем элементам матрицы А одного и того же постоянного числа С не приводит к изменению оптимальных стратегий, а только лишь увеличивает цену игры на С.

Каждое из неравенств разделим на число v (v > 0), а также введем новые переменные: y₁ = / v,  y₂ = / v, ..., y_m = / v.

Тогда система (5.3) примет вид:

a11y1 + a21y2 + ... + am1ym ≥ 1, a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ 1, ... a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym ≥ 1.

(5.4)

При этом y_i ≥ 0,   .

Далее рассмотрим равенство + + ... + = 1.

Разделим неравенство на число v (v ≠ 0). Получим:

y1 + y2 + ... + ym = 1/v.

(5.5)

Вспомним, что цель игрока А – максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. цену игры v. Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1/v, поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных y_i ≥ 0, i = 1, 2, …, m, так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (5.4) и при этом линейная функция (5.5) обращалась в минимум.

Перед нами задача линейного программирования.

Решая задачу (5.4) – (5.5), можно найти оптимальную стратегию U^*.

Аналогичные рассуждения выполним и для игрока В.

Обозначив x_j = / v,   , в результате получим:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ 1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ 1, ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ 1.

(5.6)

x1 + x2 + ... + xn = 1/v.

(5.7)

Таким образом, задача определения оптимальной стратегии игрока В сводится к следующему: определить значения переменных x_j ≥ 0, j = 1, 2, …, n, так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (5.6) и при этом линейная функция (5.7) обращалась в максимум.

Решая задачу линейного программирования (5.6) – (5.7), получим оптимальную стратегию Z^*.

Вновь приведем формулировки полученных задач линейного программирования.

= y1 + y2 + ... + ym → min;			= x1 + x2 + ... + xn → max;
	a11y1 + a21y2 + ... + am1ym ≥ 1, a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ 1, ... a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym ≥ 1;			a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ 1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ 1, ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ 1;
yi ≥ 0,   .			xj ≥ 0,   .

Очевидно, что задачи (5.4) – (5.5) и (5.6) – (5.7) представляют собой пару взаимно двойственных задач линейного программирования. Их решение позволяет решить соответствующую игру.

При этом:

; = v ∙ ,   ; = v ∙ ,   .

(5.8)

Таким образом, процесс нахождения решения игры с использованием методов линейного программирования включает следующие этапы.