4. Геометрическая интерпретация игр

Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Такие игры можно решать графически.

Дадим геометрическую интерпретацию игры, рассмотренной выше в рамках примера 5.3.

Пример 5.3. Найдите решение игры, заданной платежной матрицей:

A =

2   5 6   4

.

Решение.

Прежде всего, проверим наличие седловой точки. Для этого найдем минимальные элементы в каждой из строк (2 и 4) и максимальные в каждом из столбцов (6 и 5). Таким образом, нижняя цена игры = max (2, 4) = 4, верхняя цена игры = min (6, 5) = 5. Поскольку ≠ , решение игры следует искать в смешанных стратегиях, при этом цена игры находится в следующих пределах: 4 ≤ v ≤ 5.

Предположим, что для игрока А стратегия задается вектором U = (u₁, u₂). Тогда на основании теоремы об активных стратегиях можно записать систему уравнений:

2 + 6 = v, 5 + 4 = v, + = 1.

Решая систему из трех уравнений с тремя неизвестными, получим: = 2/5, = 3/5, v = 22/5.

Теперь найдем оптимальную стратегию игрока В. Пусть стратегия данного игрока задается вектором Z = (z₁, z₂). Система уравнений (5.2), основанная на использовании теоремы об активных стратегиях, запишется следующим образом:

2 + 5 = 22/5, 6 + 4 = 22/5, + = 1.

Решая систему, состоящую из любых двух уравнений, взятых из последней системы, получим = 1/5, = 4/5.

Следовательно, решением игры примера 5.3 являются смешанные стратегии: U^* = (2/5, 3/5), Z^* = (1/5, 4/5), цена игры v = 22/5.

На плоскости XY по оси абсцисс отложим единичный отрезок A₁A₂ (рисунок 5.1). Каждой точке отрезка поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию U = (u₁, u₂). Причем расстояние от некоторой промежуточной точки U до правого конца этого отрезка – это вероятность u₁ выбора стратегии A₁, расстояние до левого конца - вероятность u₂ выбора стратегии A₂. Точка А₁ соответствует чистой стратегии А₁, точка А₂ – чистой стратегии А₂.

В точках А₁ и А₂ восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OY) покажем выигрыш игрока А при использовании стратегии А₁, на втором – при использовании стратегии A₂. Если игрок А применяет стратегию A₁, то его выигрыш при стратегии B₁ игрока B равен 2, а при стратегии B₂ он равен 5. Числам 2 и 5 на оси OY соответствуют точки B₁ и B₂. Аналогично на втором перпендикуляре найдем точки B^'₁ и B^'₂ (выигрыши 6 и 4).

Соединяя между собой точки B₁ и B^'₁, B₂ и B^'₂, получим две прямые, расстояние от которых до оси OX определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.

Например, расстояние от любой точки отрезка B₁B^'₁ до оси OX определяет средний выигрыш игрока A при любом сочетании стратегий A₁ и A₂ (с вероятностями u₁ и u₂) и стратегии B₁ игрока B.

Рисунок 5.1 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение оптимальной стратегии игрока А)

Ординаты точек, принадлежащих ломаной B₁MB^'₂ определяют минимальный выигрыш игрока A при использовании им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является наибольшей в точке М, следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия U^* = ( , ), а ее ордината равна цене игры v.

Координаты точки M найдем, как координаты точки пересечения прямых B₁B^'₁ и B₂B^'₂.

Для этого необходимо знать уравнения прямых. Составить такие уравнения можно, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:

Составим уравнения прямых для нашей задачи.

Прямая B₁B^'₁:

=    или   y = 4x + 2.

Прямая B₂B^'₂:

=    или   y = -x + 5.

Получим систему:

y = 4x + 2, y = -x + 5.

Решим ее:

4x + 2 = -x + 5, 5x = 3, x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.

Таким образом, U^* = (2/5, 3/5), v = 22/5.

Аналогично решается задача по нахождению оптимальной стратегии игрока B. Разница состоит в том, что находится точка, сводящая к минимуму средний проигрыш, поэтому на рисунке 5.2 рассматривается ломаная A₂MA^'₁.

Рисунок 5.2 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение оптимальной стратегии игрока B)

Найдем координаты точки М.

Прямая A₁A^'₁:

= ,  откуда  y = 3x + 2.

Прямая A₂A^'₂:

= ,  откуда  y = -2x + 6,

3x + 2 = -2x + 6, 5x = 4, x = 4/5.

Таким образом, = 1/5, = 4/5.

В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в следующем.

1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.

2. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. Эти стратегии являются активными в оптимальной смешанной стратегии второго (первого) игрока.

3. Находят координаты точки пересечения, тем самым определяя оптимальную стратегию первого (второго) игрока и цену игры.

4. Оптимальную стратегию другого игрока находят, решая систему уравнений, включающую его активные стратегии.

Пример 5.4. Найдите решение игры, заданной матрицей:

A =

7    9   8 10   6   9

.

Решение.

Сначала проверим наличие седловой точки: = 7, = 9. Поскольку нижняя и верхняя цены игры не совпадают, седловая точка отсутствует, и решение следует искать в смешанных стратегиях.

Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой, приведенной выше. Результат представлен на рисунке 5.3.

Рисунок 5.3 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.4

Точка М находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям B₁ и B₂ второго игрока.

Найдем ее координаты:

B₁B^'₁:

= ,  откуда  y = 3x + 7,

B₂B^'₂:

= ,  откуда  y = -3x + 9,

3x + 7 = -3x + 9, 6x = 2, x = 1/3, т.е. = 2/3, = 1/3, цена игры v = 8.

Активными стратегиями игрока B являются стратегии B₁ и B₂, следовательно, = 0.

Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

7 + 9 = 8, + = 1.

Второе уравнение умножим на семь и вычтем из первого:

2 = 1, = 1/2,   = 1/2.

Ответ: U^* = (2/3, 1/3); Z^* = (1/2, 1/2, 0); v = 8.

Рассмотрим очередной пример.

Пример 5.5. Найдите решение игры, заданной матрицей:

A =

6   5 4   6 2   7 1   8

.

Решение.

Проверим наличие седловой точки.

= max (5, 4, 2, 1) = 5, = min (6, 8) = 6.

Седловая точка отсутствует, поэтому решение следует искать в смешанных стратегиях.

Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой, приведенной выше. Результат представлен на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.5

В данном случае необходимо отыскать точку, соответствующую минимальному гарантированному проигрышу. Такая точка (точка М) находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям А₁ и А₄ игрока А.

Найдем координаты:

A₁A^'₁:

= ,  откуда  y = -x + 6,

A₄A^'₄:

= ,  откуда  y = 7x + 1,

7x + 1 = -x + 6, 8x = 5, x = 5/8, = 3/8, = 5/8, v = 43/8.

Активными стратегиями игрока A являются стратегии A₁ и A₄, следовательно, = = 0.

Используя выражение (5.1), вытекающее из теоремы об активных стратегиях, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

6 + = 43/8, + = 1.

Вычтем из первого уравнения второе:

5 = 35/8, = 7/8, = 1/8.

Ответ: U^* = (7/8, 0, 0, 1/8); Z^* = (3/8, 5/8); v = 43/8.

Решим еще одну задачу.

Пример 5.6. Предприятие может выпускать два вида продукции (A₁ и А₂), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может оказаться в одном из четырех состояний (В₁, В₂, В₃ и В₄). Задана матрица, ее элементы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-го вида продукции и j-ом состоянии спроса (таблица 5.4).

Определите оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Таблица 5.4 - Платежная матрица примера 5.6

	B1	B2	B3	B4
A1	3	3	6	8
A2	9	10	4	2

Решение.

Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей, представленной в таблице 5.4.

Определим верхнюю и нижнюю цены игры: = 3, = 6. Как видно, седловая точка отсутствует, и решение нужно искать в смешанных стратегиях игроков: U^* = ( , ), Z^* = ( , , , ).

Решим игру, используя геометрический метод. Соответствующие построения приведены на рисунке 5.5.

Рисунок 5.5 – Геометрическое решение игры примера 5.6

Точка M – точка максимального гарантированного выигрыша. Она находится на пересечении отрезков, соответствующих состояниям спроса B₁ и B₃.

Найдем координаты точки M.

B₁B^'₁:

= ,  откуда  y = 6x + 3,

B₃B^'₃:

= ,  откуда  y = -2x + 6,

6x + 3 = -2x + 6, 8x = 3, x = 3/8, y = 21/4.

Таким образом, получим:

= 5/8, = 3/8, v = 21/4.

Полученное решение интерпретируется следующим образом. Продукция А₁ должна составлять 62,5% (5/8) от общего объема выпущенной продукции, продукция А₂ – 37,5% (3/8). Это гарантирует предприятию среднюю прибыль в размере 5,25 (21/4) при любом характере спроса.

Для полного решения игры осталось отыскать оптимальную стратегию спроса.

Активными стратегиями игрока B (спроса) являются стратегии B₁ и B₃, следовательно, = 0, = 0.

Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

3 + 6 = 21/4, + = 1.

Второе уравнение умножим на три и вычтем из первого:

3 = 9/4, = 3/4, = 1/4.

Ответ: U^* = (5/8, 3/8); Z^* = (1/4, 0, 3/4, 0); v = 21/4.

Еще раз обратим внимание на рисунок 5.5 и платежную матрицу, представленную в таблице 5.4.

Стратегия B₂ заведомо невыгодна для игрока В по сравнению со стратегией B₁. На рисунке 5.5 все точки отрезка B₂B^'₂ лежат выше отрезка B₁B^'₁, следовательно, заранее понятно, что стратегия B₂ не входит в оптимальное решение.

Таким образом, столбец B₂ может быть исключен из рассмотрения до начала решения задачи, поскольку соответствующая стратегия заведомо невыгодна для игрока B по сравнению со стратегией B₂.

Итак, исходная игра может быть упрощена путем исключения из платежной матрицы строк и столбцов, соответствующих заведомо невыгодным стратегиям.

Такими стратегиями для игрока А являются те, которым соответствуют строки с элементами, заведомо меньшими по сравнению с элементами како-либо другой строки.

Для игрока В невыгодным стратегиям соответствуют столбцы с элементами, заведомо бoльшими по сравнению с элементами какого-либо другого столбца.