Потенциальная энергия деформации плоской стержневой системы.

Будем рассматривать плоскую систему, т.е. систему все стержни которой и все силы лежат в одной плоскости. В стержнях такой системы в общем случае могут возникать при внутренних силовых факторах:

Упругая система, деформируясь, накапливает при этом энергию (упругую энергию) называемую потенциальной энергией деформации.

Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии.

Потенциальная энергия накопленная в малом элементе длиной dz будет равняться работе сил приложенных к этому элементу

Потенциальная энергия для стержня:

Замечание. и - необязательно постоянные величины

.Напряженное состояние при растяжении и сжатии.

Во вводной лекции мы уже упоминали о напряженном состоянии в точке и в частности, говорили, что знать напряженное состояние в точке – это уметь вычислить напряжения по любой площадке, проходящей через данную точку. Теперь уже мы рассмотрим этот вопрос в случае, когда исследуемая точка принадлежит растянутому или сжатому стержню.

П усть стержень растянут силой F и в поперечных сечениях стержня, как мы знаем, возникают нормальные напряжения равные , где А - площадь поперечного сечения.

Проведем через исследуемую точку А произвольное сечение, положение которого задается углом между осью стержня и внешней нормалью к сечению. Кроме того, проведем еще поперечное сечение. Выделим с помощью указанных сечений элемент и рассмотрим равновесие данного элемента.

По наклонной площадке действует полное напряжение . проектируя силы, действующие на элемент на ось стержня, получаем

Разлагая на нормальное и касательное напряжение, получаем

Переходя к функциям угла имеем

Уравнения (5) дают возможность вычислить напряжения по любым площадкам, проходящим через данную точку, т.е. определяют напряженное состояние при растяжении и сжатии. Очевидно, что касательные напряжения обращаются в нуль по двум площадкам (поперечное сечение) и (продольное сечение). Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним, главными напряжениями.

Очевидно, что одно из главных напряжений, действующее в поперечном сечении - является максимальным по модулю, что обосновывает использование формулы (1), как основной расчетной формулы при растяжении, сжатии, а другое главное напряжение, действующее в продольных площадках рано нулю. Таким образом, продольные площадки свободны от напряжений.

Из второго уравнения (5) видно, что максимальные касательные напряжения возникают по площадкам, наклоненным к оси на угол , и равняются по величине

Максимальные касательные напряжения являются причиной разрушения образцов из хрупких материалов, испытываемых на сжатие.

Закон парности касательных напряжений.

Выясним, каковы касательные напряжения по площадке перпендикулярной данной, т.е. задаваемой углом

т.е.

З нак “минус” указывает на то, что касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках направлены либо к ребру между площадками либо от ребра. Таким образом имеет место закон парности касательных напряжений: Касательные напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и направлены как было указано выше.