Главные площадки и главные напряжения

Выражение (2) представляет собой квадратичную форму относительно направляющих косинусов. Из линейной алгебры известно, что невырожденная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, т.е. такому виду, когда члены с произведениями координат отсутствуют. Для нашего случая это будет означать, что существуют такие площадки, для которых коэффициенты при произведениях направляющих косинусов равны нулю:

Определение. Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним, — главными напряжениями.

Найдем главные напряжения. Допустим, что главная площадка существует и ее внешняя нормаль .

Главное напряжение по этой площадке Спроектируем на координатные оси:

Подставим это в (1) и после несложных преобразований получим

(3)

Система (3) линейна и однородна относительно направляющих косинусов. Тривиальное решение невозможно ввиду известного соотношения

Тогда для существования решения, отличного от тривиального, определитель системы (3) должен быть равен нулю:

Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение относительно которое есть не что иное, как характеристический многочлен матрицы, составленной из компонентов тензора напряжений, а главные напряжения есть не что иное, как собственные значения этой матрицы. Характеристический многочлен выглядит так:

(4)

Коэффициенты уравнения (4) являются инвариантами напряженного состояния, т.е. скалярными величинами, независящими от выбора тех исходных трех взаимно перпендикулярных площадок, от которых мы отправляемся искать главные напряжения, они определяются следующим образом:

— линейный инвариант;

— квадратичный инвариант, равный сумме миноров элементов, стоящих на главной диагонали;

— кубический инвариант, равный определителю матрицы, составленной из компонентов тензора напряжений. Уравнение (4) имеет три действительных корня (симметричная матрица имеет только действительные собственные значения).

Корни упорядочиваются следующим образом:

где — наибольшее в данной точке напряжение, а — наименьшее.

После вычисления главных напряжений можно проверить найденные значения:

Экстремальные касательные напряжения возникают по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом Наибольшее из них равно (5)

Классификация напряженных состояний

В зависимости от числа ненулевых главных напряжений напряженные состояния классифицируются следующим образом:

1. Трехосные или объемные напряженные состояния — случай, когда ни одно из главных напряжений не равно нулю. Определение главных напряжений при трехосном напряженном состоянии подробно рассмотрено в предыдущем пункте.

2. Напряженное состояние называется двухосным или плоским, если только два главных напряжения отличны от нуля. В этом случае кубический инвариант равен нулю. Находим главные напряжения:

Одно из главных напряжений равно нулю, а два других определяются из решения приведенного выше квадратного уравнения. Если напряженное состояние задано напряжениями по площадкам, одна из которых, например, с внешней нормалью является той главной площадкой, по которой главное напряжение равно нулю, то тензор напряжений принимает вид

Инварианты напряженного состояния примут вид

Подставляя это в выражение для главных напряжений, получим формулу

(6)

Данная формула применима не только в случае плоского напряженного состояния, но и в случае трехосного напряженного состояния, когда известно положение одной из главных площадок. В этом случае по этой формуле определяются два других главных напряжения.

3. Если кубический и квадратичный инварианты одновременно равны нулю, то лишь одно главное напряжение отлично от нуля. Оно называется одноосным или линейным и возникает, например, при растяжении и сжатии при чистом изгибе.

Помимо приведенной выше классификации, возможна классификация, основанная на знаках главных напряжений:

1. Трехосные растяжения, когда ни одно из главных напряжений не является сжимающим.

2. Трехосные сжатия, когда ни одно из главных напряжений не является растягивающим.

3. Смешанные напряженные состояния, когда и имеют разные знаки.