Главные оси и главные моменты инерции.

Нас интересует вопрос: относительно каких осей моменты инерции принимают экстремальное значение? Из выражения (2) легко понять, что если относительно одной из осей момент принимает максимальное значение, то относительно другой момент будет минимальным.

Возьмем первое из выражений (1) и исследуем его на экстремум.

Если продифференцировать второе выражение, то получим

Следовательно, условием существования экстремума будет . Это будет иметь место при Откуда

Определение. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции.

Положение главных осей задается выражением (3). Если использовать это выражение для исключения из уравнений (1) функций угла 2, то получим формулу для определения главных моментов инерции.

Чистый сдвиг. Кручение стержней круглого поперечного сечения

Напряженное состояние чистого сдвига - одно из простейших

(наряду с растяжением и сжатием) напряженных состояний.

Ч истым сдвигом называется плоское напряженное состояние, при котором на гранях элемента возникают одни лишь касательные напряжения.

Грани элементарного параллелепипеда при деформации перекашиваются. С точностью до малого высшего порядка можно считать, что ребра остаются прямыми и длина их не меняется. В таком случае деформированное состояние элемента можно определить с помощью лишь одного параметра – угла сдвига , т.е. угла на который изменится первоначально прямой угол между гранями элемента.

Напряженное состояние чистого сдвига может быть реализовано при кручении тонкостенной трубы круглого сечения.

П ри сравнительно небольших деформациях для большинства материалов можно считать, что угол сдвига пропорционален касательному напряжению, т.е. имеет место закон Гука при чистом сдвиге: (1)

G – модуль сдвига, или как его еще называют модуль упругости вто­рого рода. Он связан с двумя другими упругими постоянными модулем упругости при растяжении-сжатии и коэффициентом Пуассона следующим соотношением:

Для сталей среднее значение упругих постоянных:

Определим главные напряжения при чистом сдвиге. Т.к. положение одной из главных площадок известно, то два других главных

напряжения можно определить по формуле (4) лекции 17 прошлого семестра. = ;

Т.к. имеют разные знаки, то очевидно, что чистый

сдвиг - смешанное плоское напряженное состояние.

Кручение.

Кручением называется такое нагружение стержня, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один внутренний силовой фактор – крутящий момент.

Эпюры крутящих моментов строятся аналогично эпюрам изгибающих моментов и нормальных сил.

Правило знаков для моментов может принято следующее: если при взгляде со стороны внешней нормали крутящий момент (внутренний) направлен против часовой стрелки, то крутящий момент считается положительным.