2. Систем и числення. Переведення чисел з десяткової системи у 2-у, 8-у, 16-у.

Переведення цілого числа з десяткової системи числення у будь-яку іншу здійснюється шляхом послідовного ділення числа на основу нової системи числення. Ділення виконується до тих пір, поки остання частка не стане менше дільника. Отримані остачі від ділення, взяті у зворотному порядку, будуть значеннями розрядів числа в новій системі числення. Остання частка дає старшу цифру числа.

Приклад: (24)10 = (?)2

(24)10 = (11000)2 Приклад: (143)10 = (?)8

(143)10 = (217)8 Приклад: (687)10 = (?)16

(687)10 = (2AF)16

Для переведення правильного дробу з десяткової системи числення у будь-яку іншу потрібно помножити заданий дріб на основу нової системи числення. Отримана ціла частина добутку буде першою цифрою після коми дробу в новій системі числення. Далі по черзі множаться дробові частини добутків на основу нової системи. Отримані цілі частини добутків будуть цифрами дробу у новій системі числення. Цей процес продовжують до тих пір, поки не буде знайдено число із заданою точністю.

Приклад:

( 0,125 )10 = ( ? )2;

( 0,125 )10 = ( ? )8;

( 0,125 )10 = ( ? )16. ( 0,125 )10 = (0,001)2;

( 0,125 )10 = (0,1)8;

( 0,125 )10 = (0,2)16.

Приклад:

(0,365)10 = (?)16

(0,365)10 = (0,5D)16

Для переведення змішаного числа з десяткової системи числення в іншу необхідну окремо перевести цілу й дробову частини за вказаними правилами, а потім об'єднати результати у змішане число.

Переведення чисел із будь-якої системи числення в десяткову

Для переведення чисел із будь-якої системи числення в десяткову необхідно це число представити у вигляді полінома і розкрити всі члени полінома в десятковій системі числення.

3. Основні закони і рівності логічної алгебри.

Вперше логічні функції були використані в алгебрі логіки, початок якій покладено працями англійського математика Дж. Буля, її також називають булевою алгеброю або алгеброю висловлень.

Під висловленням розуміється будь-яке твердження, яке може бути істинним або хибним.

Істинному висловленню приписується 1, хибному – 0. Висловлення можуть бути простими і складними. Складні висловлення складаються з простих.

Для об’єднання простих висловлень в складні використовуються логічні зв’язки, що відповідають логічним функціям, аргументами яких є прості висловлення.

Логічний зв’язок “І” (кон’юнкція). Кон’юнкцією називають складне висловлення, що містить 2 або більше простих висловлень і яке є істинним тоді і лише тоді, коли істинними є прості висловлення, і хибним, якщо хоч одне з простих висловлень хибне.

Кон’юнкція являє собою логічний зв’язок “І” (див. табл. 1.5).

З’єднання двох висловлень читається як “ і ”. Позначається або .

Таблиця 1.5

0

Логічний зв’язок “АБО” (диз’юнкція). Диз’юнкцією називають складне висловлення, що містить декілька простих висловлень і яке є істинним тоді, коли істинним буде хоч одне з простих висловлень, які входять в це складне висловлення, і хибним, якщо всі прості висловлення хибні.

Диз’юнкція являє собою логічний зв’язок “АБО” (табл. 1.6) і позначається . Читається “ або ”.

Таблиця 1.6

= ” або ”

Логічний зв’язок “НЕ” (заперечення). Логічний зв’язок “НЕ” означає заперечення висловлення і читається “НЕ ”, позначається або Ш (табл. 1.7

Запереченням висловлення називають складне висловлення “НЕ ”, яке є істинним, коли хибне, і хибним, коли істинне.

Для зручності подальших викладок використаємо позначення: “∙” – кон’юнкція, “” – диз’юнкція і “” – заперечення.

Булевою алгеброю називається множина , що складається не менше ніж з двох елементів, на якій визначені три операції – диз’юнкції (), кон’юнкції (), заперечення (). Для будь-яких елементів виділяємо набір незалежних властивостей, які вважають аксіомами булевої алгебри, а саме:

– закон комутативності:

; (1.1)

– закон асоціативності:

; (1.2)

• закон дистрибутива для спрощення формул крім аксіом використовують такі співвідношення або закони алгебри логіки:

• – логічне додавання до нуля:

– логічне додавання до одиниці:

– логічне множення на 0:

– логічне множення на 1:

– закон протиріччя:

– закон виключеного третього:

Всі інші закони є наслідком зазначених вище:

– закон ідемпотентнно

– закон подвійного заперечення:

– закон поглинання (х поглинає у):

– закон де Моргана:

– наслідки законів де Моргана:

розглянутих співвідношень можна виконувати різні тотожні перетворення булевих виразів.

При цьому порядок виконання дій такий:

При відсутності дужок виконуються операції заперечення, потім кон’юнкції, останніми – диз’юнкції.

Подання одних функцій алгебри логіки через інші

1. Операція заборони:

Для доведення цього і наступних співвідношень будемо підставляти в ліву і праву частини виразу окремі значення аргументів і перевіряти правильність рівності.

2. Сума за модулем 2:

3. Операція Пірса (операція АБО-НЕ). (1.19)

4. Логічна рівнозначність

Справедливість першої рівності може бути встановлена безпосередньо по таблицях істинності функції логічної рівнозначності і суми по модулю 2; наступних рівностей - шляхом інвертування лівої і правої частин виразу і перетворення за формулами де Моргана.

5. імплікація:

6. Функція Шеффера:

(операція І-НЕ). (1.22)