13. Застосування означеного інтеграла(обчислення площ, об’єму тіла, довжини кривої)

Нехай плоска крива задана параметрично х=х(t), y=y(t) (1), де х(t), y(t)-неперервні функції на відрізку [ ]. A відповідає значенню параметра t= , B-t= . Розіб’ємо відрізок [ ] на n частин точками . Ці точки назвемо Т-розбиттям даного відрізка. Тоді кожному значенню параметра t= на кривій АВ відповідатиме точка М . Сполучимо ці точки відрізками прямої. В результаті в криву АВ буде вписано ламану, периметр якої позначимо через Р= . Р залежить від Т-розбиття. Найбільшу довжину частинного відрізка позначимо . Тоді якщо 0, то найбільша сторона ламаної теж наближається до 0. Якщо існує границя периметра ламаної, вписаної в криву АВ, при 0, то криву АВ називають спрямлюваною, а саму границю-довжиною дуги. Теорема. Якщо функції x(t), y(t)-неперервні на [ ] і мають на ньому неперервні похідні x’t), y’(t), то крива, задана рівняннями (1), є спрямлюваною і її довжина S= . Доведення. Розглянемо довільне Т-розбиття відрізка [ ] . Знайдемо значення Р(Т) для цього розбиття. P(T)= . Нехай М ( ), де , М , де Тоді , де точки знаходяться в середині . Введемо суму . |P(T)-

Оскільки y’(t) неперервна на відрізку, то вона рівномірно неперервна на ньому. Тому для числа знайдеться таке >0, що як тільки |t’-t’’|< , то , де t’, t’’ –довільні точки [ ]. Візьмемо таке розбиття відрізка [ ] , щоб . Тоді |P(T)- . . Внаслідок того, що . Якщо АВ задано рівнянням y=f(x), то s= . Якщо крива задана , то

14. Функція багатьох змінних. Границя, неперервність. Повторні і подвійні границі.

Нехай маємо змінних , спільні значення яких можуть вибиратися довільно із деякої множини точок - вимірного простору :ці змінні наз. незалежними. Якщо точку позначимо через , то функцію наз. Функцією цієї точки і позначають: . Нехай в деякій множині точок - вимірного простору задано функцій від змінних : (1).Припустимо, що якщо точка міняється в межах множини , то - вимірна точка , яка їй відповідає з координатами (1) не виходить за межі вимірної множини , де визначена функція - складена функція від незалежних змінних .

Арифметичні операції , які повторно застосовують до незалежних змінних , приводять до цілих многочленів таких виглядів:

і - це ціла раціональна і дробова раціональна функції.

Нехай точка - точка скупчення множини . Тоді із завжди можна виділити таку послідовність (1): , яка відрізняється від , яка б збігалася до .

Нехай в даній множині визначена функція . Тоді функція має своєю границею число при прямуванні змінних до , якщо яку б не виділити із послідовність (1) точок, відмінних від і збіжних до , числова послідовність , яка складається із відповідних значень функції, завжди збігається до . Позначають так: .

Сформулюємо дане означення “на мові ”: кажуть, що функція має своєю границею число , якщо для будь-якого числа існує таке число , що якщо , то .