11. Первісна функція, властивості. Таблиця первісних.
Розглянемо
таку задачу: прискорення
задано
як функція від часу :
.
Потрібно знайти швидкість
і шлях
в залежності від
.
Тобто, тут потрібно за функцією
відновити ту функцію
,
для якої
буде похідною, а потім, знаючи функцію
,
знайти ту функцію
,
для якої похідною буде
.
Функція
на
даному проміжку наз. Первісною для
функції
або інтегралом від
,
якщо на всьому цьому проміжку
буде похідною для функції
або, що
служить для
диференціалом:
або
.
ТЕОРЕМА.
Якщо в деякому проміжку
функція
є
первісною для функції
,
то і функція
,
де
-будь-яка
стала, також буде первісною. І навпаки:
кожна функція, первісна для
на проміжку
,
може бути представлена в такому вигляді.
Доведення:
Те, що разом з
і
буде первісною для
є очевидним, бо
.Нехай
-
довільна первісна для
функція, так що на проміжку
.
Так як функції
і
на даному проміжку мають одну і ту ж
похідну, то вони відрізняються на
похідну:
. Доведено.
Отже,
,
де
- довільна стала, являє собою загальний
вигляд функції, яка має похідну
або диференціал
.
Дане означення – це означення невизначеного
інтеграла
і позначається
,
де
- підінтегральний вираз, а
-
підінтегральна функція. Звідси випливають
такі властивості:
1.
.
2.
або
.
Повертаючись
до задачі, сформульованої на початку,
тепер ми можемо записати
і
.
Властивості:
1.
Якщо
- стала
,
то
.
Дов.
.
2.
.
Дов.
.
3.
.
Дов.
,тоді
.Таб.Первісних:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Заміна змінної та інтегрування частинами.
Інтегрування
шляхом заміни змінної.
В основі цього методу лежить таке
зауваження: якщо відомо, що
,
то тоді
.
Дійсно,
,
якщо врахувати, що
,
або
.
Нехай
потрібно обчислити такий інтеграл:
.
В багатьох випадках замість нової
змінної вдасться вибрати таку функцію
,
щоб підінтегральний вираз набув такого
вигляду:
,
де
-
зручніша для користування функція ніж
.
Тоді достатньо знайти такий інтеграл:
,
щоб після підстановки
отримати шуканий інтеграл. Звичайно
записують так:
,
враховуючи, що в функції від
проведена вище вказана заміна.
Інколи
роблять іншу заміну. А саме: в підінтегральнім
виразі
підставляють замість
функцію
від нової змінної
і отримують в результаті такий вираз:
.
Інтегрування
частинами.
Нехай
і
є дві функції від х, які мають неперервні
похідні
і
.
Тоді за правилом диференціювання добутку
або
.
Для виразу
первісною буде
,
тому має місце така формула:
(1)- формула для інтегрування частинами.
Вона приводить інтегрування виразу
до інтегрування такого виразу:
.
Правило
інтегрування частинами має більш
обмежену область використання ніж
заміна змінних. Але є цілі класи
інтегралів, наприклад,
,
,
,
і т. д., які обчислюються саме за допомогою
інтегрування частинами.
Повторне використання правила інтегрування частинами приводить до загальної формули інтегрування частинами.
Припустимо,
що функції
і
на деякому проміжку мають неперервні
похідні до
-го
порядку включно:
.
Замінивши
в формулі (1)
на
,
ми отримаємо
.
Аналогічно,
,
,
.
Домножуючи
дані рівності по черзі на +1 або на -1 і
складаючи їх почленно по знищенню
однакових інтегралів у правій і лівій
частинах, ми прийдемо до такої формули:
.
Особливо
вигідно користуватися даною формулою,
коли одним із множників підінтегральної
функції є многочлен. Якщо
являє собою многочлен
-го
степеня, то
.
І для інтеграла в лівій частині отримаємо
кінцевий результат.