5. Різні означення границі функції. Їх еквівалентність.

Нехай задана функція в області визначення X , і задана точка , яка може і не належати до області визначення.

Означення 1 "мовою послідовностей". Число називається границею функції в точці , якщо для всякої послідовності , що збігається до , відповідна послідовність значень функції збіжна до .

Означення 2 мовою " ". Число називається границею функції в точці , якщо для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність .

Еквівалентність означень.

Нехай виконується означення 2, тобто для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність . Оберемо з області значень функції послідовність . За означенням границі послідовності це означає, що для всякого існує , що з того що слідує , а згідно нашого припущення , буде вірною і така нерівність , а це й означає, що

Нехай виконується означення 1, тобто для всякої послідовності , що збігається до , відповідна послідовність значень функції збіжна до . Припустимо, що означення 2 не виконується, тоді існує таке , що . Виберемо такі що :

…………………………

…………………………

Нехай , тоді , а оскільки виконується означення 1, то це означає, що , а це протирічить тому, що .

Отже, наше припущення невірне.

Число називається границею функції в точці зліва (лівосторонньою), якщо для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність .

Число називається границею функції в точці справа (правосторонньою), якщо для всякого існує таке , що з нерівності слідує нерівність .

Теорема. Щоб існувала границя функції в точці, необхідно і достатньо, щоб існували і були рівні односторонні границі.

визначні границі

1) .Довед. а) , оскільки дуга х прямує до нуля, то можна вважати, що . В крузі радіуса побудуємо кут і нехай -довжина перпендикуляра, опущеного з т.В на радіус і - відрізок дотичної до кола, проведеної в т.А до точки перетину її з продовженим радіусом . Тоді маємо: . Оскільки і , то отримуємо , тобто . Поділимо всі члени останньої подвійної нерівн. на додатню величину , отримаємо , або . Нехай , тоді . Таким чином з останньої нерівн. випливає, що ф-ція лежить між двома ф-ціями, які мають спільну границю, що=1. На основі теореми про проміжну ф-цію отримуємо (*). б) Нехай , маємо , де . Тому (**). З формул (*) і (**) випливає потрібна рівність.

2) . Довед. Користуючись біномом Ньютона, отримаємо або

.(1) При всі доданки в ф-лі (1) додатні, причому при збільшенні показника збільшується к-сть доданків і кожен доданок стає більшим. Отже, послід. починаючи з найменшого значення зростає разом з показником . З іншої сторони, кожен доданок у правій частині ф-ли (1) збільшиться, якщо всі множники знаменників замінити на 2,а кожну з дужок замінити 1. Тому . Знайшовши, суму геометричної прогресії маємо . Звідси . Отже, при члени послід. зростають, але залишаються більшими за 2 і меншими за 3. Тобто , де . Аналогічно можна довести, що .3) .Довед. Аналогічно виводиться, що .