1.Множина дійсних чисел.Упорядкованість та щільність множин.

Спочатку, у процесі лічби виникає натуральний ряд чисел . Різні арифметичні операції призводять до розширення цього класу. Тому вводиться число і цілі від’ємні числа, а потім і раціональні. Далі з’являються ірраціональні і комплексні числа. Всі раціональні та ірраціональні числа складають множину дійсних чисел. Множина дійсних чисел позначається .

Властивості дійсних чисел:

1. Операція додавання: Для будь-якої впорядкованої пари дійсних чисел визначено, причому єдиним чином, число, що називається їх сумою і позначається . При цьому мають місце наступні властивості:

а) Для будь-якої пари чисел і

- переставний або комутативний закон додавання

б) Для будь-якої трійки чисел , ,

- асоціативний закон додавання

в) Існує число таке, що для будь-якого числа

г) Для будь-якого числа таке, що

2. Операція множення: Для будь-якої впорядкованої пари чисел і визначено, причому єдиним чином, число, що називається їх добутком і позначається . При цьому мають місце наступні властивості:

а) Для будь-якої пари чисел і

- переставний або комутативний закон множення

б)

в)

г)

3. Зв’язок між операціями додавання і множення

4. Впорядкованість: Для кожного числа визначено одне із відношень , , , при цьому, якщо і , то

а)

б)

Якщо , то

5. Властивість неперервності дійсних чисел: Для кожного перерізу множини дійсних чисел існує число , що породжує цей переріз,

2. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

Послідовністю називається функція натурального аргумента, тобто коли кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число.

Послідовність називається зростаючою (спадною) , коли при збільшенні (зменшенні) члени послідовності зростають (зменшуються), тобто якщо при ( ).

Число називається границею послідовності якшо для довільного існує таке натуральне число , яке залежить від , що для всіх виконується нерівність .

Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення.

Припустимо супротивне. Нехай послідовність має дві границі . Виберемо a<b . Візьмемо довільне , таке, щоб . Знайдемо числа і , при яких , а для . Якщо вибрати N більшим з чисел N₁ N₂ , то і , що неможливо, тому що .

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення.

Нехай . Тоді в будь-який окіл точки потрапляють всі за винятком хіба лише скінченного числа точок. Нехай, починаючи з , всі потрапили до околу . Виберемо з чисел найбільше за модулем М. Тоді для . Виберемо . Тоді для , тобто послідовність -- обмежена.

Теорема 3. Якщо для послідовностей і , що мають скінченні (не обов'язково) границі і , і починаючи з деякого номера для всіх наступних членів виконуються нерівності або , то .

Теорема4. Якщо з трьох послідовностей , , дві мають одну й ту саму границю , і при всіх , починаючи з деякого номера, справджуються нерівності , то .

Дійсно, нехай дано . Оскільки , то існує таке , що , Оскільки , то існує таке , що . Нарешті , нехай нерівності справджуються при всіх . Виберемо тепер . Тоді всі нерівності справджуватимуться одночасно : , , , звідси , або . Це означає, що .

Послідовність називається нескінченно малою , якщо її границя дорівнює нулю.

Теорема 5. Сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Теорема6. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є послідовність нескінчено мала.

Теорема 7. Для того, щоб послідовність мала границю, яка дорівнює , необхідно і достатньо, щоб існувала така нескінченно мала послідовність , що .

Теорема 8. (про границю суми). Якщо послідовності і , то послідовності мають границі, причому Доведення.

Нехай , . За теоремою 7 дістаємо, що , , тоді . Оскільки величина -- нескінчено мала, то . Звідси за теоремою 7 , або , що те саме,

Теорема 9. (про границю добутку). Якщо послідовності і ,то послідовність має границю, причому

Доведення аналогічне доведенню теореми 8.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі.

Лема. Якщо послідовність , має границю, відмінну від нуля, то послідовність обмежена.

Теорема 10 (про границю частки). Якщо послідовності і , причому і всі , то границя частки існує і .

Доведення.

З умов і маємо , , де , нескінченно малі, тоді

. За властивостями нескінченно малих величин є нескінчено малою величиною. Тоді -- нескінченно мала як добуток обмеженої та нескінченно малої послідовностей. Таким чином, , де -- нескінченно мала. Звідси маємо, що .