1 Вопрос

Уравнение

F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

 

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y'(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) .

 

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

 

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие.

 

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.

 

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.

 

Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.

 

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:

 

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.

Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y)

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной, содержащейся в этом уравнении. 

Порядок дифференциальных уравнений определяется числом независимых переменных состояния. Формально порядок дифференциальных уравнений можно определить как разность между числом переменных состояния, входящих в уравнение схемы, и числом зависимых переменных состояния. 

2 Вопрос

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным). Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Различные постановки задачи Коши

ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

Система   ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система  -го порядка)

ОДУ  -го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ

3 Вопрос

ифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции.  Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов  , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x₀, при котором h(x₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.  Обозначив  , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.  Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.