4. Теоремы о среднем значении для гармонических функций.

Теорема (о среднем значении по сфере).

Если u(x), х=(х₁,…,х_n) гармоническая функция в и шар V_R(x₀) входит в вместе со своим замыканием, тогда

.

Док-во:

Пусть , тогда по 3-ей формуле Грина мы имеем

(1)

Заметим, что , поэтому E(x₀- )=E( ) и 2-е слагаемое в формуле (1) можно записать следующим образом

=E( ) =0 (теорема о потоке тепла)

, и подставляя всё это в равенство (1), мы получим

(2)

U(x) непрерывна до границы нашего шара, поэтому устремляя

теорема доказана.

Теорема (о среднем значении по шару).

Пусть гармоническая в шаре V_R(x₀) функция u(x) С( ), тогда

(3)

Док-во:

Умножим равенство (2) на , получим

и интегрируем его по от 0 до R.

Теорема доказана.

Теорема о среднем значении по шару допускает следующее сообщение.

Теорема (третья теорема о среднем).

Пусть - непрерывная на отрезке [0;R] функция, и пусть А(R) , тогда, если u(х) гармоническая в шаре функция из класса С( ), то

Док-во:

Умножаем равенство (2) на и получаем

интегрируем по

Теорема доказана.

5. Теорема (обратная теорема о среднем).

Пусть функция u(x) непрерывна в области и в каждой точке этой области удовлетворяет формуле среднего значения, в частности

Тогда u(x) – гармоническая в .

Без доказательства.

6. Принцип максимума.

Теорема: Пусть гармоническая в области Ω функция и пусть . Если , тогда (Т.е. максимальное значение гармонической функции достигается только на границе области).

Д-во:

Возьмём шар . Выберем произвольную точку и предположим, что . Выберем ρ так, чтобы . По второй теореме о среднем,

. . Противоречие!!! Т.о.

Соединим ломаной (или дугой) произвольную точку с точкой . Выберем конечное число шаров, пересекающихся в каждом .

Теорема доказана.

Следствие 1: Пусть гармонична в Ω, , тогда, если то , минимальное значение гармонической функции достигается на границе.

Д-во:

Заметим, что u(x) удовлетворяет всем условиям теоремы и следствие доказано.

Следствие 2: Гармоническая в области Ω функция, принадлежащая классу и отличная от постоянной, удовлетворяет следующему неравенству:

Д-во: Следует из принципов максимума и минимума.

7. Единственность внутренней задачи Дирихле.

Пусть Ω – ограниченная область с кусочно-гладкой границей . Рассмотрим в Ω внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона

Решение задачи (1)-(2), если оно существует, единственно.

Д-во:

Пусть - произвольные решения задачи. Разность будет гармонической и

Воспользуемся вторым следствием

Т.о. . Теорема доказана.

8. Единственность внешней задачи Дирихле.

Пусть Ω – неограниченная область с кусочно-гладкой границей . Рассмотрим в Ω внешнюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона

Решение задачи (1)-(3), если оно существует, единственно.

Д-во:

Пусть - произвольные решения задачи. Рассмотрим их разность . Возьмём произвольную точку . Возьмём сферу с центром в начале координат и радиусом R. Выберем R настолько большим, чтобы сфера пересекалась с Ω. .

Воспользуемся 3 следствием принципа максимума.

(т.к. )

, причём от R не зависит. Это возможно тогда и только тогда, когда .Теорема доказана.