19. Матрица линейного оператора

Пусть f – линейный оператор пространства V_n, а (e₁, e₂, . . . , e_n) (12.1) базис этого пространства. Найдем образы базисных векторов (12.1) при отображении f (f(e₁), f(e₂), . . . , f(e_n)) (12.2) и разложим их по базису (12.1). Имеем

. Составим матрицу

A = (12.4) столбцами которой служат координатные столбцы векторов системы (12.2) в базисе (12.1).

Матрица, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов при линейном отображении f пространства V_n в себя, записанных в том же базисе этого пространства, называется матрицей линейного оператора f в рассматриваемом базисе пространства Vn.

Пусть теперь x произвольный вектор пространства V_n, а x₁, x₂, . . . , x_n координаты этого вектора в базисе (12.1), т.е. имеет место разложение x = x₁e₁ + x₂e₂ + . . . + x_ne_n, xi ∈ P, ∀i = 1, n. (12.5) Найдем координаты y₁, _y2, . . . , y_n вектора y = f(x) в том же базисе (12.1).

С одной стороны, имеем y = f(x) = y₁e₁+y₂e₂+...+y_ne_n. (12.6)

С другой стороны y = f(x) = f(x₁e₁+x₂e₂+...+x_ne_n)=x₁f(e₁) +x₂f(e₂)+...+x_nf(e_n)=x₁(a₁₁e₁+a₂₁e₂+...+a_n1e_n)+x₂(a₁₂e₁+...+a_ne_n)+...+x_n(a_1ne₁+...+a_nne_n)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n)e₁+(a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n)e₂+...+(a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n)e_n. (12.7)

Сравнивая это выражение с равенством (12.6), получим

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + . . . + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + . . . + a_2nx_n,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n. (12.8)

Соотношение (12.8)выражают зависимость между координатами образа и прообраза одного и того же вектора при линейном преобразовании f.Отметим, что систему соотношений (12.8) можно записать в матричном виде Y = AX, (12.9)

20. Действия над линейными операторами.

Пусть Vn – вещественное (комплексное) пространство чисел. Множество всех линейных операторов этого пространства обозначим символом Hom(Vn,Vn).

Пусть f,ϕ ∈ Hom(Vn,Vn).

Два линейных оператора f и ϕ называются равными и обозначаются f = ϕ, если f(x) = ϕ(x), для любого x ∈ Vn.

Теорема 12.1. Для того чтобы два линейных оператора были равны, необходимо и достаточно чтобы они имели в заданном базисе равные матрицы.

Суммой двух линейных операторов f и ϕ ∈ Hom(Vn,Vn) называется линейное отображение ψ:Vn→Vn, определяемое формулой ψ(x) = f(x) + ϕ(x), для любого x ∈ Vn.

Сумма линейных операторов f и ϕ обозначается f + ϕ.

Теорема 12.2. Сумма двух линейных операторов f и g есть линейный оператор. Матрица суммы линейных операторов в некотором базисе равна сумме матриц этих операторов в этом же базисе.

Произведением линейного оператора f и число λ называется отображение ψ:Vn→Vn, определяемой формулой

ψ(x) = λ · f(x), ∀x ∈ Vn

Это произведение обозначается λf.

Теорема 12.3. Произведение линейного оператора f на число λ, есть линейный оператор. Матрицей этого оператора является матрица λA, где A – матрица оператора f в некотором базисе пространства Vn.

Произведением двух линейных операторов f,ϕ∈Hom(Vn,Vn) называется отображение ψ : Vn → Vn, определяемое формулой ψ(x) = f[ϕ(x)], ∀x ∈ Vn.

Произведение операторов f, ϕ обозначается fϕ или f ◦ ϕ.

Теорема12.4. Произведениедвух линейных операторов является линейным оператором. Матрица произведения линейных операторов в некотором базисе равна произведению матриц этих операторов в том же базисе.