15. Базис и размерность линейных пространств. Базис n-мерных векторных пространств.

Система векторов линейного пространства V называется базисом, если она линейно независима и каждый вектор пространства V линейно выражается через нее.

Линейное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным. Количество векторов в базисе конечномерного пространства V называется размерностью пространства V и обозначается dimV. Если dimV = n, то пространство V называется n-мерным и обозначается Vn.

Линейное пространство, состоящее только из одного нулевого вектора (нулевое линейное пространство), также называется конечномерным.

Ненулевое линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем нет базиса, состоящего из конечного числа векторов.

Базис n-мерных векторных пространств.

Теорема 8.8. В векторном пространстве Vn любая линейно независимая система из n векторов является базисом.

Теорема 8.9. Любая линейно независимая система векторов в пространстве V_n или является базисом или может быть дополнена до базиса этого пространства.

Теорема 8.10. Система векторов пространства Vn является максимальной линейно независимой тогда и только тогда, когда является базисом этого пространства.

16. Базис n-мерных векторных пространств. Координаты вектора

Теорема 8.8. В векторном пространстве Vn любая линейно независимая система из n векторов является базисом.

Доказательство. Пусть

(a₁, a₂,...,a_n) (8.10) – базис пространства V_n, а

(b₁,b₂,...,b_n) (8.11) - произвольная линейно независимая система в V_n.

Рассмотрим систему векторов (a₁, a₂, a₃, . . . , a_n, b₁, b₂, . . . , b_n). (8.12)

В системе (8.12) система (8.10) является базисом. Покажем, что и система (8.11) – базис для системы (8.12), а тогда в силу свойства линейной выражаемости следует, что система (8.11) базис пространства V_n. От противного, пусть система (8.11) не является базисом системы (8.12). Тогда среди векторов ai (1≤ i ≤n) найдется такой, который линейно не выражается через систему (8.11). Без ограничения общности пусть это будет вектор a1.

Теорема 8.9. Любая линейно независимая система векторов в пространстве V_n или является базисом или может быть дополнена до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть (a₁, a₂, . . . , a_k) – линейно независимая система векторов пространства V_n.

Если:

1) k = n, то эта система векторов является базисом пространства vn ;

2) k > n быть не может, так как любая подсистема линейно независимой системы линейно независима;

3) k < n. Тогда система (a₁, a₂, . . . , a_k) не является базисом пространства V_n.

Система векторов линейного пространства V_n называется максимальной линейно независимой, если:

1) она линейно независима;

2) к ней нельзя добавить ни одного вектора из V_n, чтобы полученная система была линейно независимой.

Теорема 8.10. Система векторов пространства Vn является максимальной линейно независимой тогда и только тогда, когда является базисом этого пространства.

Координаты вектора

Пусть V_n – линейное пространство, а система векторов E = (e₁, e₂, . . . , e_n) базис этого пространства. Рассмотрим некоторый вектор x из V_n. Тогда система векторов (x, e₁, e₂, ... , e_n) (8.17) линейно зависима, т.е. найдутся числаγ₀, γ₁, γ₂, . . . , γ_n не все одновременно равные нулю и такие, что γ₀x + γ₁e₁ + ... + γ_ne_n = 0.

Ясно, что γ₀≠ 0, иначе, в противном случае, система (8.16) линейно зависима. Но, тогда из последнего равенстваследует, что x = x₁e₁ + x₂e₂ + . . . + x_ne_n. (8.18)

Представление вектора x в виде x = x₁e₁ + x₂e₂ + . . . + x_ne_n, где E = (e₁, e₂, . . . , e_n) – базис пространства V_n, а x_i ∈ R, ∀i = 1,n, называется разложением вектора x по базису E, а коэффициенты x₁,x₂,...,x_n в этом разложении – координатами вектора x в этом базисе.

Столбец X, составленный из координат вектора x ∈ V_n в базисе E = (e₁, e₂, . . . , e_n) этого протранства называется координатным столбцом вектора x в базисе E.

Теорема 8.11. Координаты вектора в заданном базисе пространства определены однозначным образом.

Свойства координат векторов.

Свойство 1. Вектор является нулевым вектором пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

Свойство 2. Два вектора пространства V_n равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе пространства V_n.

Свойство 3. Вектор x является линейной комбинацией векторов x₁,x₂,...,x_r тогда и только тогда, когда каждая координата вектора x в некотором базисе пространства V_n является такой же линейной комбинацией соответствующих координат векторов x₁,x₂,...,x_r в том же базисе пространства V_n.