12. Замена переменных в опред.Интеграле. Интегрирование по частям

Теорема 3.16 (О замене переменной ). Пусть функция x = x(z) определена на отрезке Z с концами α и β, непрерывна вместе со своей производной x’ и пусть X = x(Z). Если функция y = y(x) непрерывна на X, то справедлива формула замены переменных

Теорема 3.18 (Об интегрировании по частям). Пусть функции u = u(x) и v = ν(x) непрерывны вместе с производными u' и ν' на отрезке X с концами a и b. Тогда

13. Опреднление вещественного линейного пространства. Примеры

Пусть V – непустое множество, элементы которого будем называть векторами и обозначать a, b, c, . . . , x, y, z, . . . , а R – множество всех вещественных чисел, элементы которого будем обозначать α, β, γ, . . . и называть иногда скалярами.

Множество V, в котором определены операции сложения векторов и умножения векторов на числа называется вещественным линейным (векторным) пространством, если выполняются следующие условия:

1) x + y = y + x, ∀x,y ∈ V ;

2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x,y,z ∈ V ;

3) в множестве V существует вектор, который называется нулевым, обозначается 0, и такой, что x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ V ;

4) для каждого вектора x ∈ V существует вектор y ∈ V, такой, что x + y = y + x = 0. Вектор y называется противоположным вектору x и обозначается −x, т.е. −x = y;

5) для любого вектора x верно равенство 1x = x, где 1 – единица множества R;

6) α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ V, ∀α,β ∈ R;

7) α(x + y) = αx + αy, ∀x,y ∈ V, ∀α ∈ R;

Пример 8.1. Множество V3 – свободных геометрических векторов с их обычным сложением векторов и умножением векторов на действительные числа.

Пример 8.2. Множество Rm,n всех действительных матриц размеров m Ч n, относительно операций сложения матриц и умножения матриц на числа. Если m = 1, то это пространство называется арифметическим n-мерным векторным пространством строк длины

n, а если n = 1 – арифметическим m-мерным векторным пространством столбцов длины m.

Пример 8.3. Множество всех многочленов Rn[x] степеней не больше n, относительно операции сложения многочленов и умножения многочленов на числа.

Пример 8.4. Множество C([a, b]) – всех вещественных непрерывных функций на отрезке [a, b], относительно операций поаргументного сложения функций и умножения на числа.

Пример 8.5. Множество функций вида {αex + β sin x + γ cos x|α, β, γ ∈ R} относительно операций сложения функций и умноженияфункций на действительные числа.

14. Линейная зависимость и независимость векторов

В линейном пространстве V рассмотрим конечную систему (последовательность) векторов (a, a2, a3, . . . , ak), k ∈ N.

Вектор α1a1+α2a2+...+αk*ak,где α1,α2,...,αk–некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов системы (a1, a2, a3, . . . , ak).

Если в линейной комбинации αi = 0, ∀i = 1,k, то говорят, что она является тривиальной, в противномслучае – нетривиальной. Конечная система векторов (a1, a2, a3, ... , ak) называется линейно зависимой, если существуют числа α1, α2, . . . , αk, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля ( > 0) и такие, что верно равенство α1a1 + α2a2 + ... + αkak = 0.

Система векторов, не являющаяся линейно зависимой, называется линейно независимой.

Теорема 8.1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть, например, вектор a1 = 0. Ясно, что верно равенство α1·0+0·a2+. . .+0·ak = 0 для каждого α1 ≠ 0. Отсюда, по определению линейной зависимости, система линейно зависима.

Теорема 8.2. Если какая либо подсистема системы векторов (8.1) линейно зависима, то и вся система векторов (8.1) линейно зависима.

Доказательство. Пусть для некоторого l, 1 ≤ l < k, подсистема (a1, . . . , al) линейно зависима. Тогданайдутся числа α1, . . . , αl такие, что имеет место равенство α1a1 + α2a2 + . . . + αl*al = 0, причем > 0. Тогда имеет место и равенство α1a1 + α2a2 + ... + αkak = 0, где αl+1 = αl+2 = ... = αk = 0. Отсюда следует, на основании определения линейной зависимости векторов, что и вся система линейно зависима.(и наоборот)

Теорема 8.3. Для того, чтобы система, состоящая более чем из одного вектора, была линейно зависимой, необходимо и достаточно чтобы по крайней мере один из векторов этой системы можно было представить в виде линейной комбинацией остальных, другими словами, линейно выражалсячерез остальные.

Доказательство Необходимость. Пусть система (8.1) линейно зависима, т.е. существуют числа α1, α2, . . . , αk не все одновременно равные нулю такие, что α1a1 + α2a2 + . . . + αkak = 0. Пусть, например, α1≠0, тогда

a1=

Достаточность. Пусть al = β1a1 + β2a2 + . . . + βl−1al−1 + βl+1al+1 + . . . + βk*ak, 1≤l≤k. Тогдаβ1a1 + β2a2 + . . . − al + . . . + αkak = 0, а это значит, на основании определения линейной зависимости, что система линейно зависима.