40. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Пусть элементы ряда являются числами произвольных знаков. Вместе с этим рядом можно рассматривать ряд .

Ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующимся рядом называют ряд , ak > 0.

Теорема 20.14 (Признак Лейбница). Если последовательность an сходится к 0 монотонно, то ряд

сходиться

41. Функциональные последовательности и функциональные ряды. Основные определения.

Функциональной последовательностью называют бесконечную пронумерованную совокупность функций, определенных на некотором множестве X, f1(x),f2(x),f3(x),...,fn(x),...,x∈X.

Обозначение: (fn(x)).

Если зафиксировать какое-либо число x0 ∈ X, то, вычислив все значения fn(x0), получим последовательность чисел (fn(x0)). Если числовая последовательность (fn(x0)) сходится, то говорят, что функциональная последовательность (fn(x)) сходится в точке x0.

Множество A ⊂ X всех x0 ∈ X, для которых последовательность (fn(x)) сходится, называют множеством сходимости функциональной последовательности (fn(x)).

На множестве A сходимости последовательности (fn(x)) определена функция . Эту функцию называют пределом функциональной последовательности (fn(x)). Используют также обозначения: fn(x) → f(x), n → ∞.

Функциональным рядом называют ряд, элементами которого являются функции uk(x), определенные на некотором множестве X, т.е. ряд вида

Множество A ⊂ X всех x0 ∈ X, для которых ряд сходится, называют множеством сходимости этого функционального ряда.

42. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Ряд Тейлора.

Степенным рядом называют ряд вида . Здесь ak, k = 1, 2, ... - числовые коэффициенты (действительные или комплексные); x0 - фиксированное число (действительное или комплексное); X - переменная (действительная или комплексная).

Теорема 21.15 (Абеля). Если ряд сходится в точке х*, то он сходится, причем абсолютно, и при любом x таком, что |x| < |x*|.

Радиусом сходимости R степенного ряда называют число, равное половине длины промежутка, являющегося множеством сходимости ряда. Если множество сходимости - вся числовая прямая, то считают R = ∞.

Формула Даламбера.

Формула Коши.

Формула Коши-Адамара.

Ряд называют рядом Тейлора функции f(x) в точке x0.

Теорема 21.23 (Критерий разложимости в степенной ряд). Сумма степенного ряда равна f(x) тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора, построенной для f(x) в точке x0, стремится к 0 при n → ∞.

41