33. Тройной интеграл: определение и свойства. Сведение тройного интеграла к повторному.

Пусть T кубируемое подмножество пространства R³, имеющее объем V.

Пусть T ⊂ R³, τ = {T1, ..., Tk} — разбиение множества T, δ — диаметр разбиения τ, (ζi, ηi, ξi) — промежуточная точка множества Ti, ∆Vi — объем Ti. Функция f(x, y, z), определенная на T, называется интегрируемой на T, если существует конечный предел интегральных сумм.

При этом сам предел I называют тройным интегралом от f на T и обозначают

Свойства тройного интеграла

Линейность.

Если f и g интегрируемы на T, то

Монотонность.

Если f и g интегрируемы на T и f(x,y,z)<=g(x,y,z), ∀(x,y,z) ∈ T, то

Аддитивность.

Пусть T = T1 ∪ T2, причём T1 и T2 не имеют общих внутренних точек. Если f интегрируема на T1 и на T2, то

Сведение тройного интеграла к повторному.

Рассмотрим функцию f(x, y,z), интегрируемую на теле T, и пусть [a, b] — проекция T на ось Ox. Обозначим S(x) — сечение T плоскостью, проходящей через точку (x,0,0) параллельно плоскости Oyz, D(x) – проекция S(x) на плоскость Oyz. Если при любом x ∈ [a, b] функция f(x, y, z) интегрируема на D(x) ⊂ R², т.е. существует

34. Криволинейный интеграл первого рода. Определение, вычисление и свойства.

Рассмотрим в R³ некоторую кривую.

Разбиением кривой будем называть множество точек

где t0,...,tn— разбиение отрезка [a, b]. Обозначим [Ak−1, Ak] — часть кривой γ, ограниченную точками Ak−1 и Ak. Диаметром разбиения {Ak} называется число δ = max_k∆s_k, где ∆s_k — длина [Ak−1,Ak].

Криволинейный интеграл I рода и обозначают

Теорема 13.1. Пусть γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) — гладкая дуга, f(x,y,z) — непрерывная функция, определенная в точках дуги γ. Тогда

Свойства.

Криволинейный интеграл обладает обычными свойствами интеграла.

1. Линейность.

2. Аддитивность. Если γ разбита на две части γ1 и γ2, которые имеют общими только граничные точки, то

3. Монотонность. Если f(x, y, z) ᲀ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ γ, то

35. Определение криволинейного интеграла второго рода и его вычисление

Пусть [a,b]— кривая в R³, γ(a) = A, γ(b) = B, {Ak} — разбиение кривой γ, точки которого имеют координаты Ak(xk, yk, zk), k = 0, ..., n, и расположены последовательно, δ — диаметр разбиения. Обозначим ∆xk = xk − xk−1, ∆yk = yk − yk−1, ∆zk = zk − zk−1.

Пусть Mk(uk, vk, wk) ∈ [Ak−1, Ak] — промежуточные точки. Для функций P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z),пределенных на γ, построим суммы

Конечные пределы этих сумм при δ → 0 обозначают соответственно

и называют криволинейными интегралами второго рода. Обычно рассматривают сумму таких интегралов, обозначая её

и называют криволинейным интегралом второго рода общего вида.

36. Свойства криволинейного интеграла второго и его вычисление.

При определении криволинейного интеграла второго рода мы предполагали, что точки A0, A1, ..., An расположены на γ последовательно, так что соответствующие им точки t0, t1, ..., tn удовлетворяют условию a = t0 < t1 < ... < tn = b.

Это означает, что на кривой γ задано направление — от A к B. Если заменить направление на противоположное, то ∆xk,∆yk,∆zk и ∆tk поменяют знаки. Таким образом, получаем:

т.е. при изменении направления на кривой криволинейный интеграл второго рода меняет знак. Криволинейный интеграл второго рода обладает также свойствами линейности и аддитивности.

Вычисление.

Теорема 14.1. Пусть γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) — гладкая дуга, P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) — непрерывные функции, определенные в точках дуги γ.

Тогда