24. Понятие функции n переменных. Предел функции n переменных.

Функцию п переменных записывают u = f(x1,...,xn), x=(x1,...,xn)∈X∈Rⁿ или u = f(x). Множество X называют областью определения функции f. Если f задана формулами и X не указано, то под областью определения понимают множество всех x ∈ Rⁿ, для которых эти формулы имеют смысл (естественная область определения).

Множество точек x ∈ X ⊆ Rn, в которых функция n переменных u = f(x) принимает заданное фиксированное значение c ∈ R, называют множеством уровня. При n = 2 множества уровня называют линиями уровня, при n = 3 – поверхностями уровня.

Пусть f : X ⊆ Rn → R, a – предельная точка множества X. Число A ∈ R называется пределом функции u = f(x) при x → a , если

∀ε > 0 ∃δε > 0, ∀x ∈ X, 0 < d(x,a)<= δε ⇒ |f(x) − A|<=ε.

При этом говорят, что функция u = f(x) стремится к пределу A при x → a и обозначают xli→maf(x) = A или f(x) → A при x → a.

Теорема 5.1 (Критерий Гейне). Для того, чтобы lim_x→af(x) = A необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности (x^k), x^k ∈ X, x^k =/ a, x^k → a выполнялось: f(x^k) → A.

Предел функции n переменных имеет свойства, аналогичные свойствам предела функции одной переменной. В частности, предел любой арифметической комбинации функций равен такой же комбинации пределов этих функций (если такие комбинации имеют смысл).

25. Непрерывность функции n переменных. Основные определения и теоремы.

Пусть функция f(x1,...,xn) определена в области D ⊂ Rn и x₀ ∈ D. Функцию f называют непрерывной в точке x₀, если lim_x→x0f(x)=f(x₀).

Пусть функция f(x1,...,xn) определена в области D ⊂ Rⁿ и x₀∈D. Функцию f называют непрерывной в точке x₀ вдоль множества L⊂D если lim_x→x0,x∈L f(x) = f(x₀).

Функция называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке из D вдоль D.

Теорема 5.2. Если ϕi непрерывны в точке t₀ и f непрерывна в точке x₀ = (ϕ1(t₀),...,ϕn(t₀)), то F непрерывна в точке t₀.

Теорема 5.3 (о сохранении знака). Если f непрерывна в точке x₀ и f(x₀) =/ 0, то существует окрестность точки x0, в которой значения функции имеют то же знак, что f(x₀).

Теорема 5.4 (о локальной ограниченности). Если f непрерывна в точке x₀, то существует окрестность точки x₀, в которой f ограничена.

Теорема 5.5 (о промежуточном значении). Если f непрерывна на связном множестве M и принимаетзначения A и B (A < B) в некоторых точках из M, то она принимает на M и любое значение C, A <C < B.

Теорема 5.6 (Вейерштрасса). Непрерывная на компакте M функция принимает на M свои наибольшее max_хf и наименьшее min_хf значения и, следовательно, ограничена на M.

Теорема 5.7 (Кантора). Непрерывная на компактном множестве M функция равномерно непрерывна на M.

26. Дифференцируемость функции n переменных. Частные производные. Производная по направлению. Градиент.

Функцию u = f(x1,...,xn) называют дифференцируемой в точке x₀, если существуют постоянные A1,...,An такие, что полное приращение функции ∆u = f(x₀ + h) − f(x₀) в точке x₀, вызванное приращением аргумента h = (∆x1, ...,∆xn) представимо в виде

∆u = f(x₀ + h) − f(x₀) = A1∆x1 + ... + An∆xn + o( )

Производной функции f(x1,...,xn) в точке x0 называют линейное отображение такое, что f(x0 + h) = f(x0) + λ(h) + o( ),.

Значение λ(h) = A1∆x1 + ... + An∆xn называют дифференциалом функции f в точке x0 и обозначают df(x0).

Частные производные.

Рассмотрим функцию u = f(x) = f(x1, . . . , xn).

Приращение h = (∆x1, ..., ∆xn) переменной x = (x1, .. . ,xn) такое, что ∆xi = 0, ∀i =/ k, называют частным приращением переменной и обозначают ∆xk. Приращение функции

∆u = f(x0 + h) − f(x0) = f(x10, ..., x0k−1, x0k + ∆xk, x0k+1, ..., x0n) − f(x10, ..., x0n), вызванное частным приращением переменной h = ∆xk называют частным приращением функции и обозначают ∆_kf.

Величину

Ak = lim ∆_kf/∆xk

∆xk→0

где ∆_kf — частное приращение функции f(x1,...,xn), соответствующее частному приращению переменной ∆xk, называют частной производной функции f по переменной xk в точке x0.

Теорема 5.8 (Необходимое условие дифференцируемости.). Если функция n переменных u = f(x1,...,xn) дифференцируема в точке x, то она имеет в этой точке частные производные по всем

переменным

∂f/∂x1, ...,∂f/∂xn. При этом

Теорема 5.9 (Достаточное условие дифференцируемости). Если функция u = f(x1,...,xn) имеет в окрестности точки x частные производные ∂f/∂x_k, k = 1, ..., n, непрерывные в x, то f дифференцируема в точке x.

Теорема 5.10. Пусть функции ϕi дифференцируемы в точке t, а функция f дифференцируема в точке (ϕ1(t),...,ϕn(t)). Тогда F дифференцируема в точке t и

Производная по направлению.

Пусть u = f(x,y,z), (x,y,z) ∈ X ⊂ R3, −l→ = (λ,µ,ν) — некоторый вектор, ∆_lu = f(x + λt, y + µt, z + νt) − f(x, y, z) — приращение функции вдоль направления −l→. Производной функции u = f(x,y,z) по направлению −l→ называют предел lim_t→0 ∆_lu/t и обозначают ∂u/∂l

Вектор называют градиентом функции u = f(x1,x2,...,xn) и обозначают grad f =grad u.

Вычисление градиента производят по правилам дифференцирования. Если f и g – дифференцируемые функции, то

1. grad(λf + µg) = λgradf + µgradg.

2. grad(f · g) = g · grad f + f · grad g.

3. Если h : R → R – дифференцируемая функция, то gradh(f) = h’(f) · gradf.