23. Векторное пространство . Расстояние в . Топологические понятия. Последовательности в .

Пусть Rⁿ — множество всевозможных упорядоченных последовательностей n действительных чисел. Элементы x = (x1,x2,...,xn) множества Rⁿ будем называть точками, а числа x1,...,xn – координатами (компонентами) точки x.

Точки x = (x1, x2, ..., xn) и y = (y1, y2, ..., yn) считаются равными, если xi = yi, i = 1, ..., n.

Операции сложения элементов множества Rⁿ и умножения этих элементов на действительные числа.

Суммой точек x = (x1, x2, ..., xn) и y = (y1, y2, ..., yn) называется точка x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn).

Произведением точки x = (x1, x2, ..., xn) на число α называется точка α · x = (αx1, αx2, ..., αxn).

Точки x = (x1, x2, ..., xn) являются векторами n-мерного арифметического пространства. Если в качестве базиса векторного пространства Rⁿ использовать канонический базис

e1 = (1, 0, ..., 0, 0)

e2 = (0, 1, ..., 0, 0)

. . . . . . . . . . . . . . .

en = (0, 0, ..., 0, 1).

то точка x = (x1, x2, ..., xn) представима в виде x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen, и компоненты точки x являются координатами этой точки в указанном базисе.

Расстоянием в Rⁿ называют функцию

d : Rⁿ х Rⁿ → R,

d : (x,y) ∈ Rⁿ х Rn → d(x,y) ∈ R,

удовлетворяющую условиям:

1. d(x, y)>= 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

2. d(x, y) = d(y, x) (симметричность).

3. d(x, y) < = d(x, z) + d(z, y) (неравенство треугольника).

Обычное расстояние в R² или в R³, определяемое формулами соответственно,

d(x,y) = ,

d(x,y) = ,

сферическая метрика

кубическая метрика

октаэдрическая метрика

Множество B(a,r) = {x ∈ Rⁿ|d(x,a) < r} называют открытым шаром радиуса r с центром в точке a.

Топологические понятия в Rⁿ.

Множество Va ⊂ Rn называют окрестностью точки a ∈ Rⁿ, если существует открытый шар B(a,r), содержащийся в Va. Множество V˙a = Va\{a} называют проколотой окрестностью точки a.

Множество U ⊂ Rⁿ называют открытым, если для любой точки x ∈ U найдется окрестность Vx ⊂ U.

Точка x ∈ Rn называется граничной точкой множества E ⊂ Rⁿ, если в любой окрестности точки x есть точки из E и точки из Rⁿ\E. Совокупность всех граничных точек множества E называют границей E.

Точку a ∈ Rn называют предельной точкой множества M, если в любой проколотой окрестности V˙a есть точки из M.

Множество F называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Диаметром множества A называется число δ = sup{d(x, y)}, x,y∈A

Множество A называют ограниченным, если его диаметр конечен. Замкнутое ограниченное множество в Rn называют компактным (коротко – компакт).

Пусть на [α, β] ⊂ R определены непрерывные функции ϕi, ϕi(t) ∈ R, i = 1, ..., n. Отображение

называется путем в пространстве Rⁿ

Множество l = {x|x = (ϕ1(t), ..., ϕn(t)), t ∈ [α, β]} называют непрерывной кривой в Rn с концами a = (ϕ1(α), ..., ϕn(α)) и b = (ϕ1(β), ..., ϕn(β)).

Открытое связное множество D ⊂ Rn называют областью.

Отображение a^k = (a₁^k, a₂^k, ..., a^k_n), называют последовательностью точек из Rⁿ.

Говорят, что последовательность (a^k) сходится к пределу a ∈ Rⁿ, если

Теорема 4.1 (Основной критерий сходимости)