1. Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования. Таблица производных.
Дифференцируемость функции в точке
Рассмотрим функцию y = f(x), определенную на интервале X. В точке x0 ∈ X дадим переменной x приращение ∆x так, чтобы точка x0 + ∆x ∈ X.
Величину ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) называют приращением функции y = f(x), которое вызвано приращением ее аргумента x. Если ∆y → 0 при ∆x → 0, то функция непрерывна в точке x0.
Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0, если существует число A (зависящее, вообще говоря, от x0), такое, что ∆y = A · ∆x + o(∆x).
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке.
Число A называют производной функции в точке x0 и обозначают символами
Из определения дифференцируемости следует, что
Дифференцируемость функции одной переменной
Правосторонний
предел
называют правосторонней
производной
функции f(x) в точке x0 и обозначают
.
Левосторонний
предел
называют левосторонней производной
функции f(x) в точке x0 и обозначают
.
Функция
дифференцируема в точке x0 тогда и только
тогда, когда
В
этом случае
Функцию
y = f(x) называют дифференцируемой
на интервале
X = (a,b), если в каждой точке x ∈
X существует производная
.
Правила дифференцирования
Теорема (Правила дифференцирования). Пусть u = u(x), v = v(x) дифференцируемые функции и C постоянная. Тогда
Производные основных элементарных функций
2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.
Точки локального экстремума. Пусть c - точка из области определения функции.
Точку
x0
называют точкой локального
максимума
функции f(x),
если существует такая окрестность
что
.
Точку x0 называют точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность, что
Точки локального максимума и локального минимума функции называют точками локального экстремума.
Стационарные
точки функции. Пусть функция дифференцируема
в точке c.
Точка c
называется стационарной
точкой функции
f(x),
если
.
Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на (a,b) и x0 ∈ (a,b) - точка локального экстремума. Если функция дифференцируема в точке x0, то x0 является стационарной точкой функции.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Если f(a) = f(b), то на интервале (a,b) существует по крайней мере одна стационарная точка.
Конечные приращения. Пусть функция определена по меньшей мере на отрезке [a,b].
Теорема
Лагранжа.
Если функция f(x)
непрерывна на [a,b]
и дифференцируема на (a,b),
то на (a,b),
существует такая точка c,
что
Если
функция f(x)
непрерывна на отрезке с концами a
и b
и дифференцируема внутри его, то
существует такое число θ
∈
(0, 1), что
Эту
формулу называют формулой
конечных приращений.
Ее записывают также в виде
Теорема
Коши.
Если функции f(x)
и g(x)
непрерывны на [a,b],
дифференцируемы на (a,b)
и
на (a,b),
то на (a,b),
существует такая точка c,
что
Правила Лопиталя
Пусть
X
- некоторый промежуток и a
предельная
точка
множества X.
Допускаем, что a
может быть и +∞ или −∞. Рассмотрим
функцию f(x),
определенную на множестве
Если a
- граничная точка промежутка X,
то при рассмотрении
рассматриваем
соответствующий односторонний предел.
Первое правило Лопиталя. Пусть
2) функции f(x) и g(x) дифференцируемы на X0;
Если
существует предел (конечный или
бесконечный)
то
и
Второе правило Лопиталя. Пусть
2) функции f(x) и g(x) дифференцируемы на X0;
3)
Если
существует предел (конечный или
бесконечный)
то
и
