. Приложения степенных рядов

8.1. Приближённое вычисление значений функции

Задача. Найти приближенное значение функции в точке с заданной степенью точности .

Решение. Разложим функцию в ряд по степеням с интервалом сходимости, содержащим точку , где – точка, в которой значения функции, а также её производных легко вычисляются, давая точные значения.

Переменной даем значение и в числовом ряду оставим только те члены, которые гарантируют заданную точность.

Число таких членов определяется по правилу:

– если ряд знакоположительный, то с помощью остаточного члена формулы Тейлора ,

– если ряд знакочередующийся, то с помощью остатка ряда Тейлора .

Пример. Вычислить с точностью .

Решение. Имеем и – знакочередующийся ряд, значит, применим остаток ряда Маклорена.

, , , .

Подбором, при значении получим – условие выполняется. Тогда, .

Пример. Вычислить с точностью .

Решение. Для вычисления запишем ряд . При , входящем в область сходимости ряда :

Если в качестве взять первые четыре члена, мы допустим погрешность .

Итак, .

Пример. Вычислить с точностью .

Решение. Представим в виде . Так как входит в область сходимости степенного ряда , то при значениях , , учитывая, что

, получим:

.

Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность .

8.2. Приближённое вычисление определённых интегралов

Многие определенные интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях, могут быть вычислены с помощью рядов. Отрезок интегрирования должен находиться внутри интервала сходимости ряда.

Пример. Вычислить интеграл c точностью .

Решение. , , ,

отсюда .

Вычисляя члены этого ряда с точностью , замечаем, что третий член ряда по абсолютной величине меньше . Следовательно, для решения этой задачи, согласно признаку Лейбница, надо взять сумму первых двух членов, что обеспечит требуемую точность .

8.3. Приближённое решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не удаётся найти в элементарных функциях, то для их решения можно применять степенные ряды.

Пример. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции , являющейся частным решением дифференциального уравнения , если .

Решение. Положим, что является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем .

Свободный член разложения, т. е. , дан по условию. Чтобы найти значения , можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной и затем вычислить значения производных при величине .

Значение получаем, подставив начальные условия в данное уравнение: , т. е. .

,

, т. е. .

,

, т. е. , …

Подставив найденные значения производных при значении в ряд , получим разложение искомого частного решения уравнения в ряд: .

Окончательно, .