23. Ошибки первого и второго рода. Доверительная вероятность.

(см. частично вопрос №22, вторую половину отрывка titkova-matmetody.pdf с. 15)

с. 7 (103), 101.JPG

До сих пор под проверкой статистической гипотезы мы подразумевали про­цедуру определения надежности связи (р-уровня, как показателя статистичес­кой значимости). Однако в конечном итоге проверка статистической гипотезы должна заканчиваться принятием статистического решения о том, какая же ги­потеза верна: нулевая — об отсутствии связи или альтернативная — о ее нали­чии. Соответственно, от этого зависит и окончательный, содержательный вы­вод исследования: подтверждена или нет исходная научная гипотеза.

Вполне очевидно, что основанием для принятия исследователем решения о том, какая гипотеза верна, является /^-уровень — вероятность того, что вер­на все-таки нулевая гипотеза. Чем меньше р-уровень, тем с большей уверен­ностью можно отклонить Н_о в пользу Н], тем самым подтвердив исходную содержательную гипотезу. Не менее очевидно и то, что, принимая решение, исследователь всегда допускает вероятность его ошибочности: ведь исследо­вание проведено на выборке, а вывод делается в отношении генеральной со­вокупности. При отклонении Н_о в пользу Н, исследователь рискует, что связи на самом деле в генеральной совокупности нет. И наоборот, решение в пользу Н_о вовсе не исключает наличие связи. Рассмотрим возможные исходе! приня­тия решения в зависимости от действительного положения дел:

В действительности:

Решение _{н а н истинна}

Неправильное решение,	Правильное решение,
ошибка I рода,	вероятность = 1 — р
вероятность = а	(мощность или
	чувствительность критерия)
Правильное решение,	Неправильное решение,
вероятность — 1 — а	Ошибка 11 рода,
(доверительная вероятность)	вероятность = р

исследователя: ° '

Отклонить Н₍₁ (принять Н)

Принять Н

Как следует из таблицы, решение исследователя зависит от того, какую ве­роятность ошибки I рода а, он считает допустимой: если ^-уровень, получен­ный в процессе проверки гипотезы, меньше или равен а, исследователь отклоняет Н_о, и это, как правило, желательный для него результат (содержа­тельная гипотеза подтверждается!). Отметим, что в этом случае вероятность ошибки известна, она меньше или равна а, точнее, равна /ьуровню. Если же /^-уровень превышает а, то принимается Н_о и содержательная гипотеза не под­тверждается¹. Но при этом вероятность ошибки II рода f$ — того, что верна все же Н] обычно остается неизвестной.

Рассмотрим соотношение ошибок I и II рода. Предположим, как и в прошлых примерах, проверяется гипотеза об отличии среднего значения от некоторой величины А. Нулевой гипотезе Н_о: М = А соответствует известное теоретическое распределение со средним А. Предположим также, что в гене­ральной совокупности на самом деле среднее значение больше А и равно В, а исследователь, как обычно, об этом даже и не догадывается. Этому положе­нию дел будет соответствовать свое, «альтернативное» теоретическое распре­деление, сходное с распределением для Н_о, но со средним В (рис. 7.3). На рис. 7.3 видно, что с уменьшением а растет «доверительная вероятность» 1 — а, которая определяет величину отклонения выборочного среднего от А для принятия Н₍₎; уменьшая а, исследователь увеличивает возможное отклоне­ние выборочного среднего от Л, при котором принимается Н_о. Принятие Н_о при больших отклонениях выборочного среднего от А увеличивает вероятность ошибки II рода, р\ вероятность того, что на самом деле верна альтернативная гипотеза. Таким образом, снижение величины а увеличивает риск допустить ошибку IIрода — не обнаружить различия или связи, которые на самом деле существуют.

Вероятность (1 —13) называется мощностью (чувствительностью) критерия. Эта величина характеризует статистический критерий с точки зрения его способности отклонять Н_о, когда она не верна. Точное значение величины мощности критерия в большинстве случаев остается неизвестным. Величина(1 —а) характеризует степень доверия к результатам статистической провер­ки и называется доверительной вероятностью.

Итак, основная проблема статистического вывода заключается в том, что заранее должно быть установлено оптимальное значение величины а, удов­летворяющее двум противоречивым требованиям. Величина а должна быть достаточно мала, чтобы обеспечивать доверие к результатам исследования при отклонении Н_о. Величина а должна быть достаточно велика, чтобы откло­нить Н_о при наличии связи (различий), не допуская ошибки II рода. Вопрос о том, какая же величина а является приемлемой, не имеет однозначного отве­та. Есть лишь общие соображения, которыми можно руководствоваться при назначении а для статистического вывода:

• Для установленного значения а вероятность ошибки (3 уменьшается с ростом объема выборки.

• Вероятность ошибки (3 уменьшается при увеличении значения а (на­ пример, с 0,01 до 0,05).

Вопрос о величине а — вопрос о том, при каком же /7-уровне исследова­тель может отклонить Н_о, решается преимущественно исходя из неформаль­ных соглашений, принятых на основе практического опыта в различных областях исследования. Традиционная интерпретация различных уровней значимости исходит из а = 0,05 и приведена в табл. 7.1. В соответствии с ней приемлемым для отклонения Н_о признается уровень р < 0,05. Такая от­носительно высокая вероятность ошибки I рода может быть рекомендована для небольших выборок (когда высока вероятность ошибки II рода). Если объемы выборок около 100 и более объектов, то порог отклонения Н_о целе­сообразно снизить до а = 0,01 и принимать решение о наличии связи (раз­личий) при р < 0,01.

Таблица 7.1 Традиционная интерпретация уровней значимости при а = 0,05

Уровень значимости	Решение	Возможный статистический вывод
р > 0,1	Принимается Но	«Статистически достоверные разли­чия не обнаружены»
р<0,1	сомнения в истинности Н(), неопределенность	«Различия обнаружены на уровне ста­тистической тенденции»
/?< 0,05	значимость, отклонение Н()	«Обнаружены статистически досто­верные (значимые) различия»
р < 0,01	высокая значимость, откло­нение Но	«Различия обнаружены на высоком уровне статистической значимости»

31. χ2-критерий Пирсона. Применение критерия для установления сходства-различия между эмпирическим и равномерным распределением.

с. 31 (123) 121.JPG