2.1 Описательная статистика

Первичная статистическая обработка проводится с использованием описательной статистики. Некоторые показатели уже знакомы студенту из курса высшей математики. Соотнесём показатели со шкалами. Целесообразно такие показатели как – выборочное среднее (и другие средние), дисперсию, стандартное отклонение, коэффициент вариации, минимум, максимум, размах, мода применять для значений, полученных в абсолютной и относительной шкалах. Для более слабых шкал применяются такие показатели как минимум, максимум, квантили (сюда относятся и квартили, а также медиана, как частный случай), квартильный размах. Для кривой распределения показательными являются показатели ассиметрии (отклонение графика от середины) и экцесса (островершинности графика).

2.2 Параметрические и непараметрические критерии

Статистические критерии, с помощью которых можно установить достоверность различия между параметрами (M, σ) вариационных рядов одноимённого признака в двух выборках (или в выборке и генеральной совокупности) называются параметрическими. Они используются при предположении, что распределения сравниваемых рядов близки к нормальному.

Критерий Стьюдента (t). Весьма известный критерий, предложенный У. Госсетом. Критерий Стьюдента для сравнения одноимённых параметров (P₁ и P₂) двух вариационных рядов имеет при n>20 в общей форме вид:

,

где в знаменателе стоит ошибка разности этих параметров, представляющая собою корень квадратный из суммы квадратов ошибок репрезентативности выборочных параметров:

.

С учётом формул ошибок репрезентативности критерий t приобретает окончательный вид:

• для сравнения средних арифметических:

• для сравнения средних квадратических отклонений:

.

Оценка достоверности разницы производится с помощью сравнения полученного значения t со стандартным (t_st), взятым из соответствующей таблицы при выбранном уровне достоверности и числе степеней свободы.

Рассмотрим пример: Изучалось число лепестков венчика у Ficaria verna из двух популяций в окрестностях г. Пушкина Ленинградской области (1965 г.). Были получены следующие выборочные параметры:

Критерий t для определения достоверности разницы между средними:

.

Критерий t для определения достоверности разницы между средними квадратичными отклонениями:

.

По таблице значений t_st при (почти 500) t₀₁=2.59. Делаем вывод: две популяции Ficaria verna достоверно отличаясь по среднему признака совпадают по степени изменчивости числа лепестков.

Критерий Фишера (F) является более точным критерием сравнения средних квадратических отклонений. Он представляет собой отношение двух дисперсий:

,

причём в числителе берут большую дисперсию их двух. Для вышерассмотренного примера имеем:

.

Из таблицы стандартных критериев Фишера находим, при и . Берём близкие значения по таблице: и . При 1%-ом уровне достоверности получаем F=1.39. Видим, что F < F_st и следовательно вывод совпадает с предыдущим.

Для сравнения двух выборок, распределение которых далеко от нормального или выборки весьма малы, рекомендуется использовать непараметрические критерии различия. Рассмотрим некоторые из них, которые активно применяются в биологических науках (в частности в экологических исследованиях).

Критерий χ-квадрат. Критерий был открыт ещё в 1875-1877 гг. Хельмертом, но затем был забыт и открыт уже К. Пирсоном. Рассчитывается по формуле:

,

где f – наблюдаемая частота; f* - ожидаемая частота.

• Если χ² > χ²_st. То нулевая гипотеза об отсутствии различия между теоретическим и эмпирическим распределениями отвергается.

• Если χ² < χ²_st. То нулевая гипотеза об отсутствии различия между теоретическим и эмпирическим распределениями принимается.

Число степеней свободы находится по формуле: , где М – число классов.

Рассмотрим пример: Проверим гипотезу об отсутствии относительной приуроченности вида к какому-либо местообитанию на примере пчелы Megachile rotundata (F.) по 7-летним материалам. М = 5; N = 22905;

Ожидаемое число особей рассчитываем по формуле:

,

где N_j – число особей S видов в j-ой выборке. , а n_i – общее число особей одного вида во всех выборках М; , а p_ij – доля i-го вида в j-ой выборке.

Таблица 2.1

Оценка различий между ожидаемым и наблюдаемым распределением частот по критерию хи-квадрат

Номер место-обита-ния, j	Объём выборки, Nj	Фактичес-кое число особей i-го вида, nij=f	Ожидаемое число особей i-го вида, pijNj =f*	f-f*	(f-f*)	(f-f*)/f*
1	5483	25	24,68	0,32	0,104	0,004
2	1683	7	7,56	-0,56	0,314	0,041
3	2047	14	9,21	4,79	22,944	2,488
4	9578	36	43,09	-7,09	50,298	1,164
5	4114	21	18,52	2,48	6,150	0,332
Сумма	22905	103	103,06			4,029

При p = 0,05, χ²_st = 9,5, следовательно гипотеза принимается.

Другой часто применяемый в биологии критерий это критерий Колмогорова-Смирнова:

,

где n_1j и n_2j – число особей соответственно 1-го и 2-го видов; и – накопленное число особей соответственно 1-го и 2-го видов. Эмпирическое значение λ оценивается по трём постоянным значениям критерия: 1,36 при p = 0,05; 1,63 при p = 0,01; 1,95 при p = 0,001. Нулевая гипотеза формулируется как утверждение об отсутствии различий между распределениями.

• Если λ > λ_st. То нулевая гипотеза об отсутствии различия между теоретическим и эмпирическим распределениями отвергается.

• Если λ < λ_st. То нулевая гипотеза об отсутствии различия между теоретическим и эмпирическим распределениями принимается.

Приведём пример вычисления критерия Колмогорова-Смирнова между сезонной динамикой относительного обилия двух видов. Все необходимые данные представим в виде таблицы.

Таблица 2.2

Оценка различий между теоретическим и эмпирическим распределениями по критерию Колмогорова-Смирнова

Месяц	Декада	Номер периода сезона	Число особей		Накопленные частоты		Доли накопленных частот		Абсолютная разница долей накопленных частот
			1-й вид	2-й вид	1-й вид	2-й вид	1-й вид	2-й вид
V	3-я	1	64	0	64	0	0,338	0,000	0,338
	1-я	2	74	2	138	2	0,729	0,005	0,724
VI	2-я	3	15	16	153	18	0,809	0,047	0,762
	3-я	4	29	6	182	24	0,962	0,063	0,899
	1-я	5	2	34	184	58	0,972	0,152	0,820
VII	2-я	6	4	174	188	232	0,995	0,606	0,389
	3-я	7	1	144	189	376	1,000	0,981	0,019
VIII	1-я	8	0	7	189	383	1,000	1,000	0,000

Подставляем данные в формулу: . Нулевая гипотеза отвергается. Рассчитайте все примеры самостоятельно и проверьте свои результаты.