Условная вероятность

Пример 18. Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?

Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов:  , из которых событию   благоприятствуют ровно два:  . Поэтому  .

Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек:  . Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие  . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении   происходит и  . Вероятность события  , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие   произошло), мы будем обозначать через  .

Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие   внутри   (т.е. одновременно   и  ), среди исходов, благоприятствующих  .

Мы пришли к выражению, которое можно считать определением условной вероятности.

Определение 18. Условной вероятностью события   при условии, что произошло событие  , называется число

Условная вероятность определена только в случае, когда  .

Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной вероятности, а для последовательного вычисления вероятности нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. А именно, справедливы следующие «теоремы умножения вероятностей».

Теорема 6. Если   и  , то

Теорема 7. Для любых событий   верно равенство:

если все участвующие в нём условные вероятности определены.

Упражнение 21. Доказать теорему 7 методом математической индукции.

Упражнение 22. Доказать, что все условные вероятности в теореме 7 определены тогда и только тогда, когда  .

Билет 18

Условные вероятности

В некоторых задачах прикладной статистики оказывается полезным такое понятие, как условная вероятность   — вероятность осуществления   при условии, что   произошло. При   по определению

.

Для независимых событий   и  , очевидно,  .

Недостаточно попарной независимости событий для их независимости в совокупности. Рассмотрим классический пример ^[6], с. 46. Пусть одна грань тетраэдра окрашена в красный цвет, вторая — в зелёный, третья грань окрашена в синий цвет и четвёртая — во все эти три цве́та. Пусть событие   состоит в том, что грань, на которую упал тетраэдр при бросании, окрашена красным (полностью или частично), событие   — зелёным, событие   — синим. Пусть при бросании все четыре грани тетраэдра имеют одинаковые шансы оказаться внизу. Поскольку граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет, то  . Легко подсчитать, что

.

События  ,   и  , таким образом, попарно независимы. Но если известно, что осуществились одновременно события   и  , то это значит, что тетраэдр встал на грань, содержащую все три цвета, то есть осуществилось и событие  . Следовательно,  , в то время как для независимых событий должно быть  . Следовательно, события  ,   и   в совокупности зависимы, хотя попарно независимы.

Билет 19